6.2. Модель Хольта-Уинтерса

Финансовые показатели, подверженные сезонным колебаниям, удовлетворительно моделируются временными рядами, включающими в себя как тренд, так и сезонную компоненту. Для краткосрочного прогнозирования таких процессов можно использовать аддитивную модель Хольта-Уинтерса с тремя сглаживающими параметрами , ,

.

Первые два слагаемых, как и прежде, предсказывают значения экономического показателя на k шагов вперед в момент времени t-k. Третье слагаемое корректирует показатель на величину сезонной составляющей. Для k=1 будет

,

.

Мультипликативная модель аналогична аддитивной модели с той лишь разницей, что рассчитанные по линейной модели уровни ряда корректируются путем их умножения на коэффициент сезонности экономического показателя

– формула для прогнозного значения в момент t-k на k шагов вперед.

Значение F(t+k-L) является значением коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. Уточнение коэффициентов модели проводится по следующим ниже формулам. Так для k=1 получим

L – период сезонного цикла (для квартальных данных L=4, для месячных L=12), F(t-L+1) – значение коэффициента сезонности в момент времени t+1. Вычисление проводится в момент времени t+1–L. Параметры сглаживания ₁, ₂, ₃ подбирают путём перебора так, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

7. Эконометрические исследования динамического ряда

Задача. В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в у.е.) за 4 года (всего 16 кварталов).

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

Цель.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания , , .

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения , ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические расчетные и прогнозные данные.

Решение.

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда есть мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом: , где k- период упреждения; - расчетное значение экономического показателя для t-го периода; a₀(t), a₁(t), F(t) - коэффициенты модели; F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L – период сезонности. Для k=1 будет

.

Из приведенных четырех формул видно, что для расчета и необходимо оценить значения этих коэффициентов для t=1-1=0. Значения и имеют смысл таких же коэффициентов для 4-го квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в таблице.

1) Для оценки начальных значений a₀(0) и a₁(0) применяем линейную модель к первым 8-ми значениям y(t) из таблицы данных. Линейная модель имеет вид

.

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a₁(0) и a₀(0) по следeдующим формулам:

, ,

где , .

2) По найденным значениям параметров определяется расчетное значение показателя y_p(t)=31,714+0,869t.

Из этого уравнения находим значения y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.

t	1	2	3	4	5	6	7	8
y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30
yp(t)	32,58	33,45	34,32	35,19	36,06	36,93	37,80	38,67

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года предшествующего первому году, по которому имеются данные. Эти данные необходимы для расчетов коэффициентов сезонности первого года: F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Унтерса.

3) Рассчитываются коэффициенты сезонности. Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому оценкой коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических y(t) и расчетных y_р(t) значений I квартала первого года: y(1)/ y_р(1) и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал, при t=5): y(5)/ y_р(5) и т.п.. Для окончательной более точной оценки коэффициента сезонности обычно используют среднее арифметическое значение соответствующих 2-х величин.

F(-3)=[y(1)/y_р(1)+ y(5)/y_р(5)]/2=

[28/32,58+31/36,06]/2=[0,859+0,8597]/2=0,859.

F(-2)=[y(2)/y_р (2)+ y(6)/y_р(6)]/2=

[36/33,45+40/36,93]/2=[1,076+1,083]/2=1,079.

F(-1)=[y(3)/y_р(3)+ y(7)/y_р(7)]/2=

[43/34,32+49/37,8]/2=[1,253+1,296]/2=1,275.

F(0)=[y(4)/y_р(4)+ y(8)/y_р(8)]/2=

[28/35,19+30/38,67]/2=[0,796+0,776]/2=0,786.

Значения коэффициентов сезонности для положительных значений аргумента t вычисляются с использованием формулы . Оценив a₀(0), a₁(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

4) Используя параметры сглаживания α₁=α₃=0,3; α₂=0,6 (полученные путем перебора наилучшие значения), рассчитаем y_р(t), a₁(t), a₀(t), F(t) для t=1. Адаптивность модели проявляется в уточнении (адаптации) её коэффициентов к моменту времени t:

Полагая t=1 из уравнения , находим y_р(1):

Далее по формулам вычисляем коэффициенты.

Аналогично рассчитываем следующие значения y_р(t), a₁(t), a₀(t), F(t).

Для t=2 имеем:

Для t=3 имеем:

Продолжая аналогично для t=4,5,6…16, строим модель Хольта-Уинтерса:

t	y(t)	a0(t)	a1(t)	F(t)	yp(t)	ε(t)	отн.погр.в %
0		31,714	0,869	0,859
1	28	32,59	0,87	0,859	27,99	0,01	0,04
2	36	33,42	0,86	1,078	36,12	-0,12	0,33
3	43	34,12	0,81	1,266	43,71	-0,71	1,66
4	28	35,14	0,87	0,792	27,45	0,55	1,96
5	31	36,03	0,88	0,859	28,54	2,46	7,94
6	40	36,97	0,90	1,080	31,74	8,26	20,65
7	49	38,11	0,97	1,277	40,91	8,09	16,51
8	30	38,72	0,86	0,781	49,95	-19,95	66,49
9	34	39,57	0,86	0,859	30,95	3,05	8,98
10	44	40,51	0,88	1,083	34,75	9,25	21,03
11	52	41,19	0,82	1,268	44,87	7,13	13,72
12	33	42,07	0,84	0,783	53,29	-20,29	61,50
13	39	43,64	1,06	0,879	33,61	5,39	13,81
14	48	44,58	1,02	1,079	39,34	8,66	18,04
15	58	45,64	1,03	1,27	49,23	8,77	15,12
16	36	46,45	0,97	0,778	59,27	-23,27	64,64

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда ε(t) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим следующую таблицу:

Квартал, t	Отклонение ε(t)	Точки поворота
1	0,01	-	0,0001		-0,00108
2	-0,12	0	0,01	0,01	0,07158
3	-0,71	1	0,51	0,37	-0,39019
4	0,55	0	0,30	1,59	1,34908
5	2,46	0	60,06	3,66	20,3398
6	8,26	1	68,26	3364	66,8346
7	8,09	0	65,44	0,03	-161,355
8	-19,95	1	397,85	786,00	-60,9021
9	3,05	0	9,32	528,98	28,2562
10	9,25	1	85,64	38,45	66,0054
11	7,13	0	50,87	4,50	-144,743
12	-20,29	1	411,84	152,19	-109,296
13	5,39	0	29,01	659,43	46,6434
14	8,66	0	75,01	10,72	75,9423
15	8,77	1	76,89	0,01	-204,066
16	-23,27	-	541,59	1026,61
Сумма	-2,70	6	1818,59	3846,22	-375,312

Проверка точности модели.

Обычно считают, что условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. В нашем случае суммарное значение относительных погрешностей составляет -56,76. Отсюда , . Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка адекватности модели.

Адекватность модели оценивается проверкой выполнения условий: 1) случайности; 2) независимости последовательных уровней (отсутствием автокорреляции) и 3) нормальности распределения ряда остатков ε(t).

1. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда ε(t) сравниваем с двумя соседними. Общее число поворотных точек равно p=6. Рассчитаем значение q. Имеем для n=16

p=6, q=6, условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

2. Проверка некоррелированности остатков может быть проведена двумя способами и включать два этапа.

2а. Проверка по d-критерию дает

Имеем 4-2,11=1,89 (d₁=1.10; d₂=1,37). 1,37<1,89<2, тогда уровни ряда остатков являются независимыми.

2б. Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Так как , т.е. , то уровни ряда остатков независимы.

3. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению (определяем по RS-критерию). Рассчитаем , при n=16

, ,

, .

Все условия адекватности и точности выполнены. Можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя на четыре квартала вперед.

5). Расчет прогнозных значений.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a₀(t), a₁(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Определим прогнозные значения экономического показателя y_р(t), для t=17,18,19,20.

На графике видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.