1.1. Некоторые сведения из математической статистики

Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признака внутри однородной совокупности у отдельных элементов. Различают случайную и систематическую вариации.

Генеральной совокупностью называется множество всех теоретически возможных, мыслимых значений (измерений, наблюдений) случайных величин, характеризующих экономический процесс или явление. Характеристики случайной величины, полученные по генеральной совокупности, называются теоретическими.

Выборкой из генеральной совокупности называется ограниченный набор значений случайной величины, характеризующей процесс или явление. Количество этих значений называется объемом выборки. Характеристики случайной величины, полученные по выборке, называются выборочными, или эмпирическими. Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами: 1) каждый элемент выбирается случайно; 2) все элементы имеют равную вероятность попасть в выборку; 3) объем выборки должен быть репрезентативным и достаточным для решения поставленной задачи с требуемым качеством.

Оценкой истинной характеристики называется случайная величина – функция выборочных значений .

Несмещенной называется оценка , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Выполнение этого условия говорит об отсутствии в наблюдениях систематической ошибки. Поскольку в общем случае , где – случайная ошибка (случайный остаток), то несмещенность означает, что . В математической статистике разность называется смещением оценки . Дисперсия несмещенной оценки параметра удовлетворяет неравенству Рао-Фреше-Крамера:

где n – объем выборки, – плотность распределения случайной величины.

Состоятельной называется оценка , если при неограниченном увеличении объема выборки, она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

Замечание. В большинстве конкретных случаев несмещенная оценка оказывается и состоятельной.

Эффективной называется оценка, если она имеет минимальную дисперсию в определенном классе оценок, т.е. не существует другой несмещенной оценки с меньшей дисперсией. Границей эффективности является тот средний квадрат отклонения оценки от оцениваемого параметра , который уменьшить уже невозможно.

Оценка считается эффективнее оценки той же характеристики, если для несмещенных оценок и выполняется соотношение: Если оценки и – смещенные, то сравнение эффективности имеет вид: где – средний квадрат отклонения оценки. Можно показать, что дисперсия несмещенной оценки не может быть произвольно малой. Мерой эффективности может служить величина:

– для несмещенных оценок;

– для смещенных оценок.

и – дисперсия и средний квадрат отклонения, соответственно, более эффективной оценки по сравнению с анализируемой оценкой .

Примеры. Дисперсией называется средний квадрат отклонений отдельных значений признака от его среднего значения. По-другому, дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Величина – характеризует рассеяние случайной величины R и называется сгруппированной выборочной дисперсией; – среднее значение случайной величины R по выборочным данным. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. . Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии применяют исправленную дисперсию , которая является несмещенной оценкой . На практике исправленной дисперсией пользуются, если .

Величина – называется сгруппированной выборочной ковариацией случайных величин и . Здесь – частота наблюдавшейся пары значений ; – выборочные средние значения случайных величин и . Ковариация служит для характеристики тесноты связи между случайными величинами. Если , то и – независимы; если , и – зависимы.

Величина – называется коэффициентом сгруппированной выборочной корреляции случайных величин и ; – средние квадратические отклонения и .

Смысл и один и тот же. Преимущество коэффициента корреляции перед коэффициентом ковариации состоит в том, что – безразмерная величина. В случае зависимости случайных величин и , говорят об уравнении как регрессии на , или как регрессии на .

Пусть и – зависимые случайные величины. Требуется сделать заключение о степени зависимости y и x. Для простоты данные будем считать не сгруппированными. Величина – называется ковариацией совокупности. Величина – называется коэффициентом корреляции совокупности. Здесь , – средние квадратические отклонения случайных величин x и y; , .

Располагая только выборочной совокупностью, мы должны понимать, что она сама является случайной величиной. Значит и прочие характеристики, полученные на ее основе, так же будут случайными величинами. Для оценки статистической значимости и построения интервальной оценки, например, выборочного коэффициента корреляции необходимо знать закон распределения оценки как случайной величины.