4.1. Мнк для расчета параметров двухфакторной модели

…	…	…

Пусть требуется исследовать зависимость расходов на питание от величины душевого дохода и количества членов семьи. Пусть y – расходы на питание, – душевой доход, – количество членов семьи. Запишем данные в таблицу.

Двухфакторный анализ в предположении линейной зависимости результативной переменной y от каждого из факторов и сводится к нахождению линейной функции . Требуется минимизировать функционал:

Используя МНК, приходим к следующей системе нормальных уравнений относительно искомых коэффициентов :

Можно показать, что определитель полученной системы отличен от нуля. Тогда существуют единственные , при которых функционал S имеет минимум.

4.2. Оценка тесноты связи в многофакторной модели

Оценки тесноты связи между факторами рассмотрим на примере линейной двухфакторной модели. Они определяются как коэффициенты парной корреляции результативной переменной y с каждым из факторов и , а так же факторов между собой:

где – общая дисперсия признака y.

Через вычисленные коэффициенты парной корреляции выражается совокупный коэффициент, или по-другому, коэффициент множественной корреляции:

где – определитель расширенной корреляционной матрицы, – определитель матрицы межфакторной корреляции. Об этом еще будет сказано. Коэффициент корреляции обладает свойствами: .

Чем ближе к 1-це тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак. Коэффициент характеризует степень совокупного воздействия факторов на экономический результат. Другое представление коэффициента множественной корреляции дается формулой:

где – остаточная и общая дисперсия, соответственно.

Теснота связи одного из k факторов модели с остальными дается выборочным коэффициентом множественной корреляции:

где – алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы R. При обнаружении мультиколлинеарности обычно исключают фактор, наиболее зависимый от комплекса остальных. При этом следует помнить о сохранении экономического смысла факторов. Величина определяет долю случайного разброса фактора .

Значимость одного и того же фактора в многофакторной модели будет зависеть от последовательности введения его в модель и общего количества факторов модели, в силу имеющейся, практически всегда, корреляции между отдельными факторами. Это обстоятельство затрудняет определение значимости коэффициентов множественной корреляции. Для определения целесообразности включения нового фактора в модель служит частный F-критерий, т.е. . Предположим, что требуется оценить значимость влияния вновь вводимого в модель фактора на результативный признак y. Формула, по которой оценивается значимость влияния вновь вводимого фактора, имеет вид:

где – число наблюдений, – число коэффициентов при факторных переменных (т.е. число параметров модели без свободного члена), – число степеней свободы равное приросту за счет включения в модель одного дополнительного фактора, – число степеней остаточной суммы квадратов отклонений. Вычисленное значение сравнивается с табличным и делается заключение о целесообразности включения в модель нового фактора. Если , то включение в модель фактора статистически оправдано, а коэффициент регрессии при этом факторе признается значимым.