§ 4.4. Електропровідність власних напівпровідників

У результаті розгляду зонної теорії твердого тіла було встановлено, що в напівпровідниках при абсолютному нулі валентна зона заповнена електронами, а зона провідності вільна. Якщо прикласти електричне поле, то електропровідність буде відсутня. З підвищенням температури електрони почнуть переходити з валентної зони в зону провідності. Для переходів електронам потрібна додаткова енергія, рівна ширині забороненої зони, що електрони здобувають від теплових коливань решітки. Імовірність того, що під впливом температури Т електрон одержить необхідну енергію, пропорційна ехр[–E₃/(kТ)]. Ця ймовірність збільшується з ростом температури. Середнє значення енергії теплових коливань при кімнатній температурі не перевищує 0,04 еВ, але внаслідок флуктуацій коливань у решітці деяка частина електронів здобуває енергію, рівну або більшу ширини забороненої зони. Перехід електронів у зону провідності супроводжується звільненням енергетичних рівнів у валентній зоні, і прикладання зовнішнього поля до напівпровідника викликає появу електропровідності.

Розглянемо ці переходи електронів на моделі кристалічної решітки (рисунок 4.4). У вузлах решітки напівпровідника перебувають нейтральні атоми, зв'язок між якими здійснюється електронними парами. При абсолютному нулі всі електрони беруть участь у ковалентному зв'язку. Для розриву цього зв'язку електрон повинен придбати додаткову енергію, рівну енергії зв'язку Електрон, що розірвав зв'язок, стає вільним і може брати участь в електропровідності.

При розриві ковалентного зв'язку відбувається частинкова іонізація атомів напівпровідника, навколо яких обертався електрон. Винекнений при цьому позитивний заряд приписується відсутності ковалентного зв'язку. Незаповнений валентний зв'язок, що проявляє себе як позитивний заряд, дорівнює заряду електрона, називають діркою провідності або просто діркою. Дірку може заповнити будь-який найближчий електрон, що бере участь у ковалентному зв'язку, і дірка переміститься на його місце. Під час відсутності електричного поля дірки, так само як електрони, рухаються по кристалі хаотично.

а - кристалічна решітка; б - зонна діаграма

Рисунок 4.4 - Електропровідність власних напівпровідників

Отже, перехід електрона з валентної зони в зону провідності супроводжується утворенням вільних електронів у зоні провідності й дірок у валентній зоні з рівними концентраціями. Виникнення в результаті енергетичного впливу в напівпровіднику пари електрон провідності – дірка провідності називається генерацією пари носіїв заряду.

Одночасно із процесом генерації йде зворотний процес повернення електронів із зони провідності у валентну зону. Цей процес приводить до зникнення вільних електронів і дірок. Нейтралізацію пари електрон провідності – дірка провідності називають рекомбінацією носіїв заряду. У стані термодинамічної рівноваги швидкості генерації й рекомбінації рівні. Це значить, що кількість електронів, що переходять за одиницю часу з валентної зони в зону провідності, дорівнює кількості електронів, що повертаються на енергетичні рівні валентної зони. В результаті строго певна концентрація носіїв заряду відповідає кожній даній температурі напівпровідника. Носії заряду виникнення яких є наслідком теплових коливань кристалічної решітки напівпровідника в умовах термодинамічної рівноваги, називають рівноважними носіями заряду.

Під дією прикладеного поля рух електронів і дірок у кристалі стає впорядкованим, і електропровідність напівпровідника є сумою електронної й діркової складових:

Концентрації електронів і дірок однакові: п = р = n_i, а рухливості різні, тому що рухливість залежить від ефективної маси: μ = еτ/(2m). Ефективна маса електрона менше ефективної маси дірок, тому μ_п>μ_р.

О тже,

Розглянутий механізм електропровідності, обумовлений генерацією пари електрон провідності – дірка провідності, при будь-якому способі збудження називають власним, а носії, що утворюються за рахунок генерації пара електрон – дірка, називають власними носіями заряду.

Заповнення енергетичних рівнів у зоні провідності електронами визначають за допомогою функції Фермі - Дірака:

К онцентрація носіїв заряду в напівпровіднику, що не містить домішок, що впливають на його електропровідність (у власному напівпровіднику), при кімнатній температурі не перевищує для германія 10¹³ см^-3. Число рівнів у зонах становить приблизно 10²² см ³. Це означає, що частинка зайнятих рівнів у зонах мізерно мала, а тому f_e« 1; але якщо f_e«1, то ехр отже, одиницею у вираженні для f_e можна знехтувати й тоді

Отримане вираження являє собою функцію розподілу Максвелла - Больцмана.

Концентрація вільних електронів у зоні провідності може бути визначена шляхом підсумовування, тобто інтегрування добутку густині енергетичних рівнів у зоні провідності N(E) на функцію розподілу f_e по всіх рівнях зони провідності (від Е1 до Е₂):

Значення функції розподілу залежать від різниці Е-Е_F, тому для обчислення f_e абсолютні числа Е та Е_F не потрібні й початок відліку енергії може бути обраний довільно. За нуль тому приймають значення енергії, що відповідають стелі валентної зони (рисунок 4.4, б). Тоді Е₁ = Е₃ й

Густина енергетичних станів N(E), тобто число дозволених станів, що доводяться на одиничний інтервал енергій в одиничному об'ємі кристала, дорівнює

де т_п – ефективна маса електронів. Тоді

У зоні провідності електронами заповнені самі нижні енергетичні рівні. Імовірність заповнення верхніх рівнів дорівнює нулю, тому верхня межа інтегрування без великої погрішності можна замінити на нескінченність. Тоді

Позначимо

де N_с – ефективна густина станів у зоні провідності, складова, наприклад, для германія при кімнатній температурі N_c=10¹⁹ см^-3. Тоді

Концентрація дірок у валентній зоні визначається аналогічним чином. Функція розподілу для дірок визначається як різниця функцій імовірності повного заповнення електронами валентної зони й функції ймовірності знаходження там електронів при даній температурі:

Концентрація дірок у валентній зоні для прийнятої системи відліку енергії

ефективна густина станів у валентній зоні, складова для германія при кімнатній температурі N_v = 6·10¹⁹ см^-3; m_p – эффективная масса дірок.

У власному напівпровіднику концентрація електронів дорівнює концентрації дірок, тому

Із цієї рівності можна визначити енергетичне положення рівня Фермі:

(4.5)

Якщо прийняти, що ефективна маса електронів і дірок однакова, то рівень Фермі у власному напівпровіднику проходить посередине забороненої зони:

(4.6)

У дійсності ефективні маси електронів і дірок не рівні між собою, тому рівень Фермі у власному напівпровіднику трохи зміщений убік зони провідності (т_п<т_р) і все ближче зміщається до неї з ростом температури.

Підставивши вираження для Е_F у вираження для концентрацій електронів і дірок, одержимо

При кімнатній температурі у власному германії n_i= 2,37·10¹³ см^-3, в кремнии n_i = 1,38·10¹⁰ см^-3.