13. Поповнення метричних просторів. Неповний метричний простір є підпростором повного метричного простору . Подібне є справедливим для кожного неповного метричного простору.

Теорема 1. Для кожного метричного простору існує єдиний з точністю до ізоморфізму повний метричний простір такий, що: 1) ; 2) ;3) є скрізь щільною множиною в .

Доведення цієї теореми проводиться за наступною схемою. Дві фундаментальні в послідовності і назвемо еквівалентними, якщо: . Це відношення ділить всі фундаментальні послідовності простору на попарно неперетинні класи. Кожний такий клас визначається одним із своїх елементів, тобто відповідною послідовністю. Той клас, який місить послідовність позначимо через . Позначимо через множину всіх таких класів. Визначимо на відстань рівністю: . Показується, що простір є шуканим, причому кожному можна ототожнити зі сукупністю тих елементів , яким належить послідовність .►

Подібним чином доводяться наступні теореми.

Теорема 2. Для кожного нормованого простору існує єдиний з точністю до ізоморфізму повний нормований простір такий, що: 1) ; 2) ;3) є скрізь щільною множиною в .

Теорема 3. Для кожного евклідового простору існує єдиний з точністю до ізоморфізму гільбертовий простір такий, що: 1) ; 2) ;3) є скрізь щільною множиною в .

Приклад 1. Простір є поповненням простору .

Приклад 2. Якщо – підмножина повного метричного простору , то поповнення збігається із замиканням множини в просторі . Справді, –повний простір.

14. Означення просторів . Нехай – деяка зліченно адитивна міра і – вимірна множина. Функція називається істотно обмеженою на множині , якщо існує така множина нульової міри, що

.

Простір – це множина всіх таких функцій , вимірних на множині , що:

1) є інтегровною функцією на множині за мірою , якщо ;

2) є істотно обмеженою на , якщо .

При цьому дві функції і із називаються рівними (як елементи простору ), якщо існує така множина нульової міри, що для всіх виконується , тобто якщо майже скрізь на . У випадку, коли і –лінійна міра Лебега на , ми пишемо замість . Це ж стосується позначень , та . Простори , , та складаються, фактично, з одних і тих же елементів. Властивості просторів залежать від властивостей множини і міри . Надалі говорячи про простори будемо вважати, що – проміжок і – лінійна міра Лебега, тобто розглядатимемо, якщо не вказано на інше, тільки простори , , та .

Зауваження 1. Уведене вище поняття рівності є відношенням еквівалентності і, фактично, елементами простору є відповідні класи еквівалентності, тобто класи функцій значення яких відрізняються хіба-що на множині міри нуль. Кожен такий клас еквівалентності визначається одним з своїх представників (функцією ). Тому при розгляді просторів рідко говорять про класи еквівалентності, хоч їх мають на увазі при розгляді цих просторів.

Приклад 1. Функція належить до простору для будь-якого , , і не належить до цього простору, якщо .

Приклад 2. Функція належить до простору для будь-якого , , і не належить до цього простору, якщо .

Приклад 3. Функція належить до простору .

Приклад 5. Функція належить до простору для будь-якого , .

15. Найпростіші властивості простору . Простір – це множина – це множина всіх функцій, вимірних й інтегрованих за Лебегом на множині . Оскільки функції і є одночасно інтегрованими, то можна сказати, що – це множина всіх вимірних на множині функцій , для яких функція є інтегровною за Лебегом на множині .

Теорема 1. Простір є векторним.

Доведення. Справді, сума двох інтегровних функцій є функція інтегрована. Добуток сталої на інтегровану функцію є інтегровною функцією. ►

Теорема 2. Функція

.

є нормою на .

Доведення. Справді,

тоді і тільки тоді, коли майже скрізь (тут важливо враховувати, що елементами простору є класи еквівалентності: дві функції значення яких відрізняються тільки на множині міри нуль вважаються рівними, , якщо майже скрізь) Крім цього,

,

і для довільної сталої , тобто і . ►

Теорема 3. Функція

.

є відстанню на .

Доведення. Справді, .►

Приклад 1. Якщо , то і

.

Приклад 2. Функції і належать до простору і

.

Зауваження 1. Простір не є евклідовим і тим більше гільбертовим, оскільки його норму не можна задати за допомогою скалярного добутку, бо для неї не виконується рівність паралелограма.

Теорема 3. Простір є банаховим..

Доведення. Потрібно довести лише повноту. Нехай – довільна послідовність, фундаментальна в . Тоді існує така послідовність натуральних чисел, що і

.

Тому

,

де – -та частинна сума ряду

.

За теоремою Б.Леві останній ряд є збіжним майже скрізь, а тому є збіжним майже скрізь також ряд . Але -та частинна сума останнього ряду дорівнює . Отже, послідовність збігається майже скрізь. Нехай . Покажемо, що і в . Для цього в нерівності

, , ,

перейдемо до границі і використаємо теорему Фату. Отримаємо, що

, .

Але . Тому в просторі і . Отже, фундаментальна послідовність містить збіжну підпослідовність. Тому є збіжною. ►