5. Метричні простори. Кажуть, що на множині задано відстань , якщо кожним двом елементам і із поставлено у відповідність невід’ємне число так, що:

а₀) тоді і тільки тоді коли ;

б₀) для всіх із ;

в₀) для всіх і із ;

г₀) для всіх , і із .

Іншими словами, відстань на –це функція , яка має властивості а₀)– г₀)).

Нерівність зветься нерівністю трикутника.

Метричним простором називається упорядкована пара непорожньої множини і заданої на ній відстані . На одній і тій же множині можна задати різні відстані. Якщо з тексту зрозуміло, яку відстань задано на , то метричний простір позначають через , тобто тим же символом, що і множину, яка його породила.

Теорема 1. Якщо –нормований простір з нормою , то функція є відстанню на .

Доведення. Ця теорема випливає безпосередньо із означень. ►

Таким чином, кожний нормований простір можна розглядати як метричний з відстанню .

Теорема 2. Відстань на векторному метричному просторі можна задати за допомогою норми рівністю тоді і тільки тоді, коли: 1) для всіх , та із ; 2) для всіх із та всіх .

Доведення. Якщо , то з властивостей норми отримуємо 1) і 2). Якщо 1) і 2) виконується, то переконуємось, що функція є нормою і .►

Приклад 1. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел з відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 2. Простір , тобто множина усіх комплексних чисел із відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 4. Дискретний простір, тобто довільна непорожня множина з відстанню

є метричним простором.

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів із дійсних чисел зі відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 6. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів із комплексних чисел зі відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 7. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей дійсних чисел, що , зі відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 8. Простір , тобто множина всіх обмежених послідовностей комплексних чисел з відстанню є метричним простором, оскільки .

Приклад 9. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання і множення на числа та відстанню є метричним простором.

6. Границя послідовностей в метричному просторі. Послідовністю в метричному просторі називається така функція, множина визначення якої є множиною натуральних чисел, а множина значень належить . Послідовність позначають найчастіше так: , , і т.д. Елемент називається границею послідовності в просторі , якщо . Якщо елемент є границею послідовності в метричному просторі , то цей факт позначають одним із символів

, , , .

Іншими словами, елемент називається границею послідовності , якщо числова послідовність є збіжною в до . В кожному метричному просторі справедливими є теорема про єдиність границі, яка доводиться аналогічно до відповідної теореми для числових послідовностей.

Приклад 1. Оскільки в просторі , то означення границі послідовності в як метричному просторі співпадає з відомим із аналізу означенням границі числової послідовності.

Приклад 2. В просторі збіжність послідовності рівносильна покоординатній збіжності: послідовності збігається в тоді тільки тоді, коли для кожного послідовність є збіжною в і при цьому .

Приклад 3. Зі збіжності послідовності в просторі випливає її покоординатна збіжність, тобто збіжність в кожної послідовності , , і при цьому . Якщо

, , ,...,

то для кожного , проте і тому така послідовність не є збіжною в . Таким чином, збіжність в просторі не є рівносильною покоординатній збіжності. Послідовність є збіжною в тоді і тільки тоді, коли по координатно збіжна і .

Приклад 4. Збіжність послідовності в просторі (це множина всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання і множення на числа та відстанню ) рівносильна рівномірній збіжності на .