10. Банахові простори. Банаховим простором називається нормований простір , який є повним метричним простором з відстанню .

Приклад 1. Множина всіх дійсних чисел з нормою є банаховим простором, що випливає із критерію Коші збіжності послідовності в .

Приклад 2. Множина всіх комплексних чисел з нормою є банаховим простором, що випливає з критерію Коші збіжності послідовності в .

Приклад 3. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей дійсних чисел, що , зі звичайними операціями додавання множення послідовності на число є банаховим простором. Справді, нехай – фундаментальна послідовність в . Тоді для кожного послідовність є фундаментальною, а тому і збіжною в . Нехай при і . З фундаментальності випливає, що для кожного існує таке, що для всіх , і виконується

,

Перейшовши в останній нерівності до границі при , отримуємо

.

Але – є довільним. Тому

, ,

тобто послідовність збігається в до . Крім цього, . Тому, враховуючи нерівність , приходимо до висновку, що .

Приклад 4. Простір –це множина всіх функцій , неперервних на проміжку з номою

.

є банаховим простором. Справді, збіжність в цьому просторі рівносильна рівномірній збіжності послідовності . Згідно зкритерієм Коші послідовність є рівномірно збіжною на тоді і тільки тоді, коли . Водночас, остання умова є рівносильною фундаментальності послідовності в просторі .

11. Гільбертові простори. Гільбертовим простором називається евклідів простір , який є повним метричним простором із відстанню , тобто гільбертів простір –це банахів простір, норму якого можна задати за допомогою деякого скалярного добутку формулою . Таким чином, кожний гільбертів простір є банановим, а обернене твердження не є справедливим.

Приклад 1. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел з

скалярним добутком є дійсним гільбертовим простором

Приклад 2. Простір , тобто множина всіх комплексних чисел зі скалярним добутком є комплексним гільбертовим простором.

Приклад 3. Простір є гільбертовим.

Приклад 4. Простір є гільбертовим.

Приклад 5. Евклідів простір не є гільбертовим, оскільки він неповний.

Приклад 6. Простір є гільбертовим.

Приклад 7. Банахів простір не є гільбертовим, оскільки його норму не можна задати за допомогою скалярного добутку і, отже, він не є евклідовим.

Приклад 8. Банахів простір не є гільбертовим, оскільки його норму не можна задати за допомогою скалярного добутку і, отже, він не є евклідовим.

Приклад 9. Банахів простір не є гільбертовим, оскільки його норму не можна задати за допомогою скалярного добутку і, отже, він не є евклідовим.

12. Ізоморфні простори. Два метричні простори ) і називаються ізоморфними, якщо існує така оборотна функція , що: 1) ; 2) . Два нормовані простори і називаються ізоморфними, якщо існує така оборотна функція , що: 1) ; 2^′) ; 3) ;

4) . Два евклідові простори і називаються ізоморфними, якщо існує така оборотна функція , що:

1) ;

2^) ;

3) ;

4) .

Два векторні простори та називаються ізоморфними, якщо існує така оборотна функція , якщо має властивості 1), 3) і 4). Ізоморфні простори мають однакові властивості, різною може бути тільки природа їхніх елементів. Тому ізоморфні простори вважаються рівними. Приклад 1. Ізоморфними (як векторні, евклідові, нормовані, метричні) є простори всіх нескоротних дробів і всіх нескінченних десяткових періодичних дробів, для яких число не є періодом. Ізоморфізм встановлює відомий спосіб перетворення звичайного дробу в десятковий.

Приклад 2. Ізоморфними (як векторні) є простір та простір всіх поліномів степені, яких не перевищують . Тут ізоморфізмом є функція , яка точці ставить у відповідність поліном .