7. Повні метричні простори. Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, якщо

.

Теорема 1. Якщо послідовність є збіжною в метричному просторі , то вона є фундаментальною в .

Доведення. Справді, це випливає із означень із нерівності

.►

Проте, твердження, обернене до теореми 1, є справедливим не в кожному метричному просторі.

Метричний простір зветься повним, якщо в ньому кожна фундаментальна послідовність є збіжною. Таким чином, в повному метричному просторі справедливий наступний аналог критерію Коші збіжності послідовності: для того, щоб послідовність була збіжною в повному метричному просторі необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Приклад 1. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел з відстанню є повним, що випливає із критерію Коші збіжності послідовності в .

Приклад 2. Простір , тобто множина всіх комплексних чисел із відстанню є повним, що випливає з критерію Коші збіжності послідовності в .

Приклад 3. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел проміжку з відстанню , є повним. Справді, якщо послідовність є фундаментальною в , то вона є фундаментальною, а тому й збіжною в . Крім цього, за теоремою про граничний перехід в нерівностях границя належить .

Приклад 4. У просторі всіх раціональних чисел з відстанню = послідовність десяткових наближень з недостачею числа є фундаментальною, але не є збіжною в , бо .

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел проміжку з відстанню є неповним. Справді, послідовність є фундаментальною в , збіжною в до . Але . Тому за теоремою про єдиність границі ця фундаментальна послідовність не є збіжною в .

Приклад 6. Простір не є повним. В цьому можна переконатись, розглянувши фундаментальну в послідовність

яка збігається в метриці простору до функції

Справді, якщо ця послідовність збігається до функції . Тоді , і . Але на проміжках і функції і є неперервними. Тому на кожному з цих проміжків, а це не можливо.

Теорема 2. Якщо фундаментальна послідовність має збіжну підпослідовність , то вона є збіжною.

Доведення. Справді, якщо , то з нерівності , отримуємо, що .►

Теорема 3. Для того щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб кожна послідовність його замкнених вкладених куль , радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.

Доведення. Необхідність. Замкнена куля в – це множина . Нехай і – відповідно центр і радіус кулі . Послідовність є фундаментальною, бо для всіх та всіх . Тому існує . Оскільки для всіх , то для всіх , тобто . Достатність. Нехай –довільна фундаментальна послідовність. Знайдемо таке, для всіх . Нехай . Виберемо так, щоб для всіх . Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність замкнених вкладених куль, радіуси яких прямують до нуля. Нехай . Тоді , але – фундаментальна послідовність. Тому .►

Приклад 7. Нехай . Тоді –неповний метричний простір з відстанню , кулі є замкненими вкладеними кулями в ньому і їхній перетин є порожнім, хоч їх радіуси. прямують до нуля. Таким чином, вимога повноти простору в теоремі 3 є істотною.

Приклад 8. Множина натуральних чисел з відстанню є метричним простором. Цей простір є повним, оскільки всі члени, починаючи з деякого, кожної фундаментальної послідовності в ньому є рівними. Разом з цим, множини є замкненими вкладеним кулями в ньому. Радіуси цих куль не прямують до нуля і їхній перетин є порожнім. Таким чином, вимога прямування до нуля радіусів куль в теоремі 3 є істотною.

8. Щільні множини в метричному просторі. Множина називається щільною в множині метричного простору , якщо . Множина називається скрізь щільною в метричному просторі , якщо , тобто якщо для кожного елемента знайдеться така послідовність точок множини , що . Множина називається ніде нещільною, якщо внутрішність її замикання є порожньою множиною, тобто якщо множина не є щільною в жодній кулі. Інакше можна сказати, що множина є ніде нещільною, якщо множина є всюди щільною. Питання про щільність множин в метричному просторі є досить важливим, оскільки ряд властивостей елементів метричного простору можна отримати наступним чином. Спочатку обґрунтовуємо їх для відносно простих елементів простору, сукупність яких є скрізь щільною в цьому просторі, а потім граничним переходом встановлюємо їх для кожного елемента простору

Теорема 1 (Бера). Повний метричний простір не можна подати у вигляді об’єднання зліченного числа ніде нещільних множин.

Доведення. Від супротивного. Тоді , де кожна із множин є ніде нещільною. Нехай – деяка замкнена куля радіуса 1. Тоді існує замкнена куля радіуса така, що . Далі знайдеться замкнена куля радіуса така, що і т. д. Таким чином існує послідовність замкнених куль радіуси яких прямують до , і . Тому існує точка така, що належить всім . Але за побудовою ця точка не належить і тому і . Суперечність. ►

Підмножина метричного простору називається множиною першої категорії, якщо її можна подати у вигляді об’єднання зліченного числа ніде нещільних множин. Підмножина метричного простору називається множиною другої категорії, якщо вона не є множиною першої категорії.

Наслідок 1. Повний метричний простір є множиною другої категорії.

Метричний простір називається сепарабельним, якщо в ньому існує зліченна скрізь щільна множина , тобто така множина, замикання якої збігається з .

Приклад 1. Простір є сепарабельним. Зліченною скрізь щільною множиною в ньому є множина всіх раціональних чисел.

Приклад 2. Множина є ніде нещільною в просторі .

Приклад 3. Простір є сепарабельним. Зліченною скрізь щільною множиною в ньому є множина всіх тих , для яких всі .

Приклад 4. Простір є сепарабельним. Зліченною скрізь щільною множиною в ньому є множина всіх тих , для кожного з яких всі і існує , що для всіх .

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервних на , з відстанню , є повним і сепарабельним. Зліченною скрізь щільною множиною в ньому є множина всіх поліномів з раціональними коефіцієнтами, що випливає з теореми Вейєрштрасса про наближення неперервних функцій многочленпми.

Приклад 6. Простір , тобто множина всіх обмежених послідовностей дійсних чисел з відстанню не є сепарабельним. Справді, розглянемо множину всіх тих , для яких всі . Ця множина є незліченною. Тому незліченною є також множина куль радіуса з центрами в кожній точці . Ці кулі не перетинаються. Якщо б існувала деяка зліченна скрізь щільна в множина, то в кожній з вказаних куль повинен міститися хоч-би один її елемент, а це неможливо.

9. Підпростір метричного простору. Метричний простір називається підпростором метричного простору , якщо –непорожня підмножина і –звуження функції на , тобто для всіх та із . Підпростір метричного простору називається замкненим підпростором, якщо множина є замкненою в . Кожна множина, яка є відкритою в і належить до , є відкритою і . Обернене твердження не є справедливим. Відкритими в підпросторі є ті тільки ті множини , які подаються у вигляді , де –множина, відкрита в .

Теорема 1. Замкнений підпростір повного метричного простору є повним метричним простором.

Доведення. Якщо послідовність є фундаментальною в , то вона фундаментальною і . Тому є збіжною в : . Але –замкнена множина. Тому . Отже, послідовність є збіжною в .►

Число називається відстанню від елемента до множини . Елемент , для якого елементом найкращого наближення елемента елементами множини . Елемент найкращого наближення може не існувати, таких елементів може декілька або нескінченна кількість.

Приклад 1. Множина з відстанню є замкненим підпростором простору . Множина є відкритою в , проте не є відкритою в .

Приклад 2. В просторі , елементами якого є точки , де , розглянемо замкнений підпростір , елементами якого є точки . Тоді і елементом найкращого наближення елемента є елемент .