Розділ 1. Простори та оператори Розділ 1. Простори

В математичному аналізі вивчають множини довільної природи. Між елементами множин наявні певні співвідношення. В залежності від характеру цих співвідношень множини називають просторами: векторними, метричними, нормованими, евклідовими, топологічними тощо. Поширення основних фактів лінійної алгебри і математичного аналізу на ці простори є предметом вивчення функціонального аналізу. Це сучасна і дуже обширна область знань, яку можна осягнути заглядаючи у відповідні курси. Завдання цього розділу ознайомити з основами теорії. Важливо засвоїти означення основних просторів ( , , , ,…), вміти знаходити відстань, норму та скалярний добуток в них та знати найпростіші їхні властивості.

1. Векторні простори. Векторним або лінійним простором називається непорожня множина , на якій задано операції додавання елементів, тобто оператор , і множення на числа (дійсні або комплексні), тобто оператор , так, що виконуються наступні умови:

а) для будь-яких і із ;

б) для будь-яких елементів , і із ;

в) існує єдиний елемент такий, що для будь-якого ;

г) для кожного існує елемент такий, що ;

г) для будь-яких і чисел та ;

д) для будь-якого ;

е) для будь-яких , та чисел i .

Таким чином, векторний простір – це упорядкована трійка , множини , операції додавання, тобто оператора і операції множення на числа, тобто оператора . Якщо множення здійснюється на дійсні числа, то такий простір називається дійсним векторним простором. Якщо множення здійснюється на комплексні числа, то такий простір називається комплексним векторним простором. Векторний простір , позначають, як правило, через , тобто тим же символом, що і множину, яка його породила.

Елементи , , векторного простору називаються лінійно залежними, якщо існують числа , , для яких і . Елементи , , векторного простору називаються лінійно незалежними, якщо з рівності випливає, що всі числа дорівнюють нулеві. Іншими словами можна сказати, що елементи , , векторного простору називаються лінійно незалежними, якщо вони не є лінійно залежними. Векторний простір називається скінченно вимірним, якщо в ньому існує скінченна кількість таких елементів , , що кожний елемент подається у вигляді: , де –деякі числа. Найменша кількість таких елементів називається розмірністю скінченно вимірного простору. Можна сказати і так. Векторний простір називається вимірним, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів, а будь-яка сукупність з його векторів є лінійно залежною. Базисом або базою скінченно вимірного векторного простору називається така сукупність з його векторів , , що кожний елемент єдиним чином подається у вигляді ..

. Скінченно вимірні простори і оператори в них вивчаються в курсі лінійної алгебри. Векторний простір, який не є скінченновимірним називається нескінченновимірним. Більшість просторів, які зустрічаються в математичному аналізі (простори , , і т.д.), є нескінченновимірними.

Приклад 1. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення, є дійсним векторним одновимірним простором. Базис в ньому утворює вектор і для кожного маємо .

Приклад 2. Простір , тобто множина всіх комплексних чисел зі звичайними операціями додавання і множення, є комплексним векторним одно вимірним простором. Базис в ньому утворює вектор і для кожного маємо .

Приклад 3. Простір многочленів (багаточленів, поносів) степеня є ( )-вимірним. При цьому – його базис.

Приклад 4. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання і множення на числа (сумою двох функцій і називається функція , визначена рівністю , добутком числа і функції називається функція , визначена рівністю , є комплексним векторним простором. Цей простір є нескінченновимірним, оскільки будь-яка скінченна кількість функцій , , є лінійно незалежною.

Приклад 7. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів з дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на дійсні числа (сумою двох векторів та називається вектор , добутком числа і вектора називається вектор ), є векторним простором. Він є вимірним. Базис в ньому утворюють вектори

, ,..., .

Цей базис називається стандартним базисом простору . При цьому, для кожного .

Приклад 8. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів з комплексних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на комплексні числа (сумою двох векторів та називається вектор , добутком числа і вектора називається вектор ), є векторним простором. Він є вимірним. Базис в ньому утворюють вектори

, ,..., .

Цей базис називається стандартним базисом простору . При цьому, для кожного ..

Приклад 9. Простір , тобто множина всіх послідовностей дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на комплексні числа (сумою двох послідовностей та називається вектор , добутком числа і послідовності називається послідовність ), є векторним простором. Цей простір є нескінченно вимірним, оскільки будь-яка скінченна кількість елементів , ,..., ,..., є лінійно незалежною в ньому.

Приклад 10. Простір , тобто множина всіх обмежених послідовностей дійсних чисел зі звичайними операціями додавання та множення послідовності на числа, є дійсни нескінченно вимірним векторним простором.

Приклад 11. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей дійсних чисел, що , зі звичайними операціями додавання та множення послідовності на дійсні числа, є дійсним нескінченно вимірним векторним простором.

Приклад 12. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей комплексних чисел, що , зі звичайними операціями додавання та множення послідовності на комплексні числа, є комплексним векторним простором (потрібно врахувати нерівність , завдяки якій сума двох послідовностей та з є послідовністю з ).

Приклад 13. Множина розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння є векторним простором. Це ж можна сказати про множину розв’язків будь-яких лінійних однорідних рівнянь (алгебраїчних, інтегральних і т.д.) та систем таких рівнянь. Множина розв’язків лінійного неоднорідного диференціального рівняння є векторним простором тільки у випадку .

Приклад 18. Простір не є векторним простором, .

Приклад 19. Простір , тобто множина всіх ірраціональних чисел зі звичайними операціями додавання та множення, не є векторним простором, оскільки .

2. Підпростір векторного простору. Множина називається векторним підпростором векторного простору , якщо вона є векторним простором з тими ж операціями додавання і множення на числа, які визначені на . Інакше можна сказати, що множина є векторним підпростором векторного простору , якщо для будь-яких i із та будь-яких чисел і виконується . Якщо –деяка непорожня підмножина лінійного простору , то множина всіх елементів , де , і –довільні числа, називається лінійною оболонкою множини і позначається . Лінійна оболонка непорожньої множини векторного простору є векторним підпростором простору .

Приклад 1. Множина не є векторним підпростором простору .

Приклад 2. є векторним підпростором простору .

Приклад 3. Для будь-яких і множина є векторним підпростором простору .

Приклад 4. Множина не є векторним підпростором простору .

Приклад 5. Лінійна оболонка непорожньої множини векторного простору є векторним підпростором простору .

Приклад 6. Множина всіх поліномів є векторним підпростором простору , тобто множини всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання та множення на числа.

3. Евклідові простори. Нехай –векторний простір. Кажуть, що на задано скалярний добуток, якщо кожним двом елементам і із поставлено число так, що:

а₂) тоді і тільки тоді, коли ;

б₂) для будь-якого із ;

в₂) для будь-яких і із ;

г₂) для будь-якого і із і .

д₂) , для будь-яких і із .

Іншими словами, скалярний добуток – це функція , яка має властивості а₂)–д₂). На одному і тому векторному просторі можна задати різні скалярні добутки.

Комплексний векторний простір , на якому задано скалярний добуток, називається евклідовим простором або комплексним евклідовим простором, або унітарним простором. Точніше кажучи, евклідовий простір – це упорядкована пара векторного простору і заданого на ньому скалярного добутку. Інколи розглядають дійсний скалярний добуток . При цьому вважають дійсним і тоді умова рівносильна умові : для будь-яких і із . Дійсний векторний простір , на якому задано дійсний скалярний добуток, називається дійсним евклідовим простором. Евклідовий простір позначають, як правило, через , тобто тим же символом, що і множину, яка його породила.

Поняття скалярного добутку є узагальненням поняття добутку чисел. Функція , яка має властивості б₂)–д₂) називається передскалярним добутком, а векторний простір, на якому задано передскалярний добуток називається передевклідовим.

Теорема 1. Для будь-яких двох елементів та передевклідового простору справедлива нерівність Шварца (Коші-Буняковського) .

Доведення. Справді,

(1)

для довільних , та . Якщо і , то . Взявши в цій нерівності , , та , послідовно отримуємо , , та . Таким чином, , якщо і , тобто нерівність Шварца в цьому випадку доведена. Якщо ж, наприклад, , то, взявши в (1) , одержуємо

,

звідки знову отримуємо нерівність Шварца. ►

Приклад 1. Простір , тобто множина всіх дійсних чисел з скалярним добутком є дійсним евклідовим простором. (функція також є скалярним добутком на ).

Приклад 2. Простір , тобто множина всіх комплексних чисел із скалярним добутком є комплексним евклідовим простором (функція не є скалярним добутком на ) .

Приклад 3. Простір (часто пишуть замість ), тобто векторний простір зі скалярним добутком є дійсним евклідовим добутком.

Приклад 4. Простір (часто пишуть замість ), тобто множина всіх упорядкованих наборів з комплексних чисел, зі звичайними операціями додавання та множення на число та скалярним добутком

,

є комплексним евклідовим простором.

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх таких числових послідовностей , що , зі звичайними операціями додавання та множення послідовності на число та скалярним добутком , є евклідовим простором.. Справді, з нерівності випливає, ряд є збіжним в , якщо і . Тому безпосередньою перевіркою переконуємось, що рівність задає скалярний добуток на векторному просторі , тобто є евклідовим простором. Часто розглядають комплексний простір , який складається з таких послідовностей комплексних чисел, що . При цьому скалярний добуток визначається рівністю .

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання та множення функції на число та скалярним добутком

,

є евклідовим простором.

Приклад 6. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервно-диференційовних на , зі звичайними операціями додавання та множення функції на число та скалярним добутком

,

є евклідовим простором.

Приклад 7. Простір , тобто множина всіх функцій , які мають на неперервні похідні до порядку включно, зі звичайними операціями додавання та множення функції на число та скалярним добутком

,

є дійсним евклідовим простором. Часто розглядають комплексний простір . В цьому випадку скалярний добуток задається рівністю .

Приклад 8. У просторі скалярний добуток чисел та знаходиться так: .

Приклад 9. У просторі скалярний добуток векторів та знаходиться так: .

Приклад 10. У просторі скалярний добуток векторів та знаходиться так:

.

Приклад 12. Простір , тобто множина всіх таких функцій , які є інтегровними за Ріманом на скінченому проміжку або функція є інтегрованою на в невласному розумінні зі звичайними операціями додавання та множення функції на число та скалярним добутком

,

є комплексним передевклідовим простором. і не є евклідовим, оскільки і , якщо Цей простір стає евклідовим, якщо функції і , для яких вважати рівними елементами простору .

Приклад 13. Простір , тобто множина всіх таких функцій , для яких функція є інтегрованою на в невласному розумінні зі звичайними операціями додавання та множення функції на число та скалярним добутком

,

є комплексним передевклідовим простором. і не є евклідовим, оскільки і , якщо Цей простір стає евклідовим, якщо функції і , для яких вважати рівними елементами простору .

4. Нормовані простори. Нехай –векторний простір, тобто множина , на якій задано операції додавання елементів і їх множення на числа і ці операції задовольняють вказані вище умови. Кажуть, що на векторному просторі задано норму, якщо кожному елементу поставлено у відповідність невід’ємне число так, що виконуються наступні умови:

а₁) тоді і тільки тоді ;

б₁) для всіх і ;

в₁) для кожного і кожного ( , якщо –дійсний простір, і , якщо –комплексний векторний простір );

г₁) для всіх і всіх .

Іншими словами, норма на – це функція , яка має властивості а₁)– г₁). На одному і тому ж лінійному просторі можна ввести різні норми. Нормованим простором називається упорядкована пара векторного простору і заданої ньому норми. Нормований простір позначають, як правило, через , тобто тим же символом, що і множину, яка його породила. Функція , яка задовольняє умови б₁) –г₁) називається переднормою.

Теорема 1. Якщо –евклідовий простір, то функція є нормою на .

Доведення. Справді, згідно з нерівністю Шварта . Тому

,

тобто , а виконання інших властивостей норми випливає безпосередньо з від повідних властивостей скалярного добутку. ►

Таким чином, кожний евклідовий простір можна розглядати як нормований простір з нормою ,

Теорема 2. Норму нормованого простору можна задати за допомогою деякого скалярного добутку рівністю тоді і тільки тоді, коли виконується рівність паралелограма (сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін) для всіх і .

Доведення. Якщо , то з властивостей скалярного добутку отримуємо 1) і 2). Якщо ж 1) і 2) виконується, то переконуємось, що функція є скалярним добутком. ►

Приклад 1. Множина всіх дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення та нормою є нормованим простором, що встановлюється безпосередньою перевіркою виконання аксіом норми.

Приклад 2. Простір , тобто множина всіх комплексних чисел із звичайними операціями додавання і множення та нормою , є нормованим простором, що встановлюється безпосередньою перевіркою виконання аксіом норми.

Приклад 3. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на числа та нормою , є нормованим простором, оскільки .

Приклад 4. Простір , тобто множина всіх упорядкованих наборів з комплексних чисел зі звичайними операціями додавання і множення послідовності на число та нормою , є нормованим простором, оскільки .

Приклад 5. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей дійсних чисел, що , зі звичайними операціями додавання множення послідовності на число та нормою , є нормованим простором, оскільки .

Приклад 6. Простір , тобто множина всіх обмежених послідовностей дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на числа та нормою є нормованим простором, що встановлюється безпосередньою перевіркою виконання аксіом норми.

Приклад 7. Простір , тобто множина всіх таких послідовностей дійсних чисел, що , зі звичайними операціями додавання і множення послідовності на число та нормою є нормованим простором, що встановлюється безпосередньою перевіркою виконання аксіом норми.

Приклад 10. Простір , тобто множина всіх функцій , неперервних на , зі звичайними операціями додавання і множення на числа та нормою , є нормованим простором, що встановлюється безпосередньою перевіркою виконання аксіом норми.

Приклад 11. У просторі норма числа знаходимо так: .

Приклад 12. У просторі норму вектора знаходимо так: .

Приклад 13. У просторі норму послідовності знаходимо так:

.

Приклад 14. У просторі норм послідовності знаходимо так: .