Остальные вs до 32 шага выпишем без разбиения на слагаемые:

b₁₂ = 576 ; b₁₅ = 2 304 ; b₁₈ = 9 216 ; b₂₁ = 36 864 ;

b₁₃ = 256 ; b₁₆ = 1 024 ; b₁₉ = 4 096 ; b₂₂ = 16 384 ;

b₁₄ = 7 056 ; b₁₇ = 28 224 ; b₂₀ = 112 896 ; b₂₃ = 451 584 ;

b₂₄ = 147 456 ; b₂₇= 589 824 ; b₃₀ = 2 359 296 ;

b₂₅ = 65 536 ; b₂₈ = 262 144 ; b₃₁ = 1 048 576 ;

b₂₆ = 1 806 336 ; b₂₉ = 7 225 344 ; b₃₂ = 28 901 376 .

Этот ряд решений иллюстрирует отмеченную ранее периодичность с шагом s = 3 в силу разбиения 1-цы на четыре слагаемых при росте s. Также существуют и другие периоды в решениях (4) с шагом s_k = k² - 1, k =3,4,5, ... , _s =8,15, и т.д. (следствие приёма В. Серпинского при поиске решений с новыми s):

а) i 9 ; б) ;

в) ; г) .

Эти соотношения для выбранного Серпинским и нами Х_s,i позволяют по трём первым значениям в_k определить все последующие. Решений уравнений (4) нам сейчас из-вестно около 2000. Ветвление числа решений начинается с s = 8. На этом шаге их известно три. Наконец, приведем довольно важный результат, полученный А.В. Стояновым [13-14, Л-1]. Это пока наилучший вариант ДМЯ с весьма большим ростом скорости дифференцировки. b₈= 1 764 ; b₉ = 144 ; b₁₀ = 176 400 ; b₁₁ = 8 643 600 ; b_{12 =} 713 530 944. Из этих цифр видно, что на 4-х последних шагах рост составил 4 955 076 раза. Этот пример (В-вариант) демонстрирует, что даже наличие большого s₀ = 19 не гарантия роста системы, на 31-м шаге начинается спад числа делящихся клеток. Этот пример показывает, что при росте сложности (числа дифференцированных клеток) быстрее экспоненты при любых начальных условиях наступает спад или остановка развития, даже гибель системы. Эта теорема еще ждёт хотя бы эмпирического своего доказательства на максимально мощном компьютере.

Многообразие числа решений системы (5,6,10-13) опре-деляется также числами s₀ и набором { s }. Число разных s при фиксированном s определяется общими для всех Х_s,i делителями b_s , для решения Серпинского - это четвёрка. Поэтому s могут принимать только пять значений: s = 0, ¼, 2/4, ¾, 1 при всех s. Наконец, отсутствие решений (4) при s = 2,3,5 трактуется нами пока как отсутствие дифференцировки на этих шагах развития, т.е. b₂ = b₃ = b₅ = 0.

То, что ветвление числа решений происходит только после 7-го шага развития свидетельствует об универ-сальности модели до 7-го шага включительно, т.е. об её пригодности для описания многоклеточных организмов одними и теми же уравнениями ранних этапов развития. Именно это и наблюдается для большинства организмов в реальности.

Число самых разных вариантов модели огромно. Поэ-тому для выделения и ограничения числа анализируемых решений ДМЯ в работе [7, Л-1] был введён вариационный принцип отбора максиминимакса, оставляющий для анализа и сличения с опытом только те варианты решений, которые удовлетворяют требованиям максимума сложности (числа дифференцированных клеток) готового организма при минимуме делящихся клеток в многоклеточных системах (в принципе, бесконечных) на каждом шаге развития. Отметим, что наличие отрицательного слагаемого в (11) должно трактоваться как возможная остановка развития на соответствующем шаге, если получаются отрицательные значения числа делящихся клеток. При реализации вариационного принципа получен результат о выделенности интервала развития на шагах s = 11,12 -20,21 , так как при этих s этот принцип требует уменьшения числа _s c ¾ до ½. Иначе, либо система не станет многоклеточной (больше миллиона клеток при s₀ > 3) и не пройдёт порогового шага s=36, либо станет проще, общее число дифференцированных клеток станет меньше возможного. Что касается моделей с s₀ 3, они все при любых комбинациях значений s -малоклеточны. Их возможный спектр числа кле-ток приведен в [7, Л-1].

Итак. Согласно теории в процессе развития многокле-точных систем при s₀=4 наблюдается резкая выделен-ность следующих стадий: s = 5 = 1 + s₀ = 1 + 4; s = 8 = 4 + + 4; (s₀= 4 ), s [13,20] ; s = 36. Заметим, что при s₀ > 4 получаются значительно более простые системы, системы с меньшей долей дифференцированных клеток. Таким образом, величина s₀=4 существенно выделена: при меньших s₀ системы малоклеточны (порядка тысячи клеток), и только при s₀ = 4 клеточная система может расти до бесконечности, оставаясь достаточно сложной.

Далее. На 5-м шаге начинается дифференцировка и процесс рассинхронизации: b₁ = 1, отделяется одна клетка. На 8-м шаге, b₄ = 4, дифференцировка усиливается, отделяются сразу четыре клетки. На этапах s = 4,6,7,9 нет какой-либо дифференцировки и это усиливает выделен-ность и роль 5-го и 8-го шагов. На 12-м шаге отправля-ется на дифференцировку чрезвычайно много клеток: b₈ = 1764, т.е. более чем в 110 раз большее число клеток, чем на 11-м шаге: в₇ = 16 клеткам. Это обстоятельство автоматически влечёт выделенность шага s = 13: на этом шаге можно уменьшить передачу клеток на тиражирование, увеличивая тем самым сложность системы, не уменьшая значительно потенций к росту.

Величина интервала [13,20] c зафиксированным значением функции _s =1/2, т.е. выделенность 20,21 –ых этапов развития также определяется полиэкстремаль-ным вариационным принципом. Например, замена 2/4 на 21-м шаге ( ₂₀ =2/4) на ¾ продиктована требованием неограниченного в последующем роста числа клеток. Видно, что стадии 20,21 (числа b₁₆, b₁₇) отличаются почти в 28 раз и одна четверть от в₁₇ составляет внушительную цифру в 7056 клеток! Посылка такого числа клеток в размножение позволяет пройти порог развития на 36-м шаге.

В заключение этого пункта приведем еще одно замеча-тельное решение системы уравнений (5,6,10-13), решение, обеспечивающее минимальную скорость роста и дифференцировки (А.В. Стоянов [51, Л-1]): на 32 шагах развития подряд, начиная с шага s = 257 и по s = 288 система клеток не меняет своей численности:

_s = _s+1 = ... = _s+32 ,

хотя шаг s-й нарастает, растёт s, система «тикает». Этот пример может служить моделью клеточных часов, осно-ванных на «холостой» дифференцировке, на совершенно новом принципе, они могут служить основой для работы хроногенов. Отметим также, что система «сама входит» в режим «часов» и сама «выходит» из него. В приложении на стр.55 приведена параметризация эллиптического типа с минимальными решениями.

Примечание

При поиске решений уравнений (4,11) мы обнаружили их эллиптическую природу. (А). Уравнение многомерно-го эллипсоида(4) при соответствующей параметризации

может приобрести вид . (4а)

Если p=q=2,то i может принимать только значения

i=0,1,2,3.4.При этом, если X²=q²-i,Y²=p² i, a=q, b=(pq),

то уравнение превратится в уравнение эллипса

, (4б)

причем, поскольку

s=q² + i (p²-1), b_s=(pq)² при (4в_1,2) i=0, s(p,q,0)=4, b_s=4; i=1, s(p,q,1)=7, b_s=16; i=2, s(p,q,2)=10, b_s=16; i=3, s(p,q,3)=13, b_s=16, i=4, s(p,q,4)=16, b_s=16,