2. Сложность алгоритмов и программ, сложность дифференциации

1. Пусть алгебраическая, дифференцирующая активность клеточного генома приводиться в действие и сопровождается процессом, состоящим из двух сортов элементарных актов: запускающих актов в количестве l_si и исполнительных в количестве m_si . Причем, их величины таковы, что

(1)

Язык из l_si и m_si команд, удовлетворяющих (1) называется, согласно [7, Л-1] экономным языком, поскольку при использовании l_si - количества «слов» как элементов мно-жества запускающих команд можно составить не более, чем подмножеств -«предложений» или инструкций. Отметим, что уже в этом определении автор [7, Л-1] по сути дела рас-сматривал иерархию команд, во главе которой стоит, как оказалось, гомеобокс с аналогичной управляющей «ролью», который был открыт в 1983-1984 гг.

2. Пусть число всех видов актов x_si, используемых (s,i)- классом клеток от момента времени нуль (например, от оплодотворения) до момента t₀=s равно числу всех подмножеств множества, элементы которого состоят только из запускающих актов, введенных в действие на этом временном интервале.

3. Число клеток n_si в (s,i) - классе, продифференцировавшем на интервале [0, t_si ] частично или полностью, обратно пропорционально числу элементарных актов х_sj : n_si~1/ x_s,s+1-i , j = i -1.

При этом предполагалось, что время «изготовления» клетки прямо пропорционально числу всех «строитель-ных» операций, пропорционально ее сложности. Отсюда следует, что полное число однотипных клеток - обратно пропорционально ее сложности. При этом не исключа-ется и «запараллеленные» процессы дифференцировки, т.к. в х_si могут входить целые алгоритмические «блоки в соответствующем исчислении.»

4. Число клеток bsi , продиффренцировавшихся хотя бы частично за время равно

(2)

Последнее равенство позволило в [7, л-1] постулировать

(3)

при всех s и i , i = s+1-j

Складывая по I обе части равенства (3) и положив

(4)

получаем самое основное диофантовое уравнение, непараметрическое уравнение(-кроме параметра-аргумента размерности s ) в обратных квадратах:

, (5)

которое, в добавок, является дискретной формой характеризационного требования нормировки функции распределения

(6)

Отметим, что в последних выражениях нумерация по i и по j - взаимно обратная. Это определилось нумерацией х_si в решениях условно именуемыми нами решениями В. Серпинского: при росте i х_si растет, а b_si уменьшалось бы при выборе b_si 1/ x_si² , а это было сочтено нецелесо-образным, поскольку считалось естественным ходом

нумерации вариант, когда росту i отвечает рост b_si .

Наконец, дадим необходимые определения из теории сложности алгоритмов [30, Л-1] и согласно [7, Л-1] прида-дим им биологический смысл.

5. За относительную сложность кn (y,X) объекта y по отношению к заданному объекту х принята минимальная длина - целое число - l(p) программы p получения у из х, т.Е. К l(p).

6. Если конечное подмножество M N (N- множество с очень большим числом элементом) допускает определение при помощи программы длины пренебрежимо малой по сравнению с loq₂N, то почти все элементы - объекты п.5 - имеют сложность К_N(y,x) , близкую к loq₂N. Именно это утверждение формально роднит понятие сложности алгоритма с традиционным определением информации.

7. Здесь по [7, Л-1] N отождествляется с числом всех элементарных актов х_si . а х и у - с описанием состояния растущей популяции: х - с начальным состояниями при s=1, а у -с у_sj. , рассматриваемое как конечное.

8. Программу А(р, х) и соотношение А(р, х)=у, реализую-щее асимптотически оптимальный метод программиро-вания, отождествляем с процессом дифференцировки как в целом, так и на отдельных стадиях s,j, рассматриваемых как конечное. А(р, х), х, у, р - все величины снабжаются индексами s,j. 9. Из пп. 1-8 следует:

(7)

Т.е. с помощью этой цепи соответствий показана взаимная непротиворечивость выше сообщенной кон-цепции «экономного» языка и понятия сложности алгоритма.