2. Алгебраический метод

Пример 1. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В и из В в А. После встречи одному из них приходится быть в пути еще на 2,5 ч. больше, чем другому. Определите скорости автомобилей, если они отличаются на 30 км/ч, а расстояние между А и В равно 450 км.

Решение. Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, у км/ч – скорость второго автомобиля. Без ограничения общности будем считать, что х < у. Тогда 450/(x + у) ч – время, через которое автомобили встретятся.

Значит, первый автомобиль пройдет до встречи х км (столько километров еще предстоит проехать второму), второй автомобиль пройдет до встречи у км (столько километров еще предстоит проехать первому) (рис.19)

Рис. 19

Первый автомобиль проедет оставшийся путь за ч., второй за ч. По условию после встречи первый был в пути на 2,5 ч. больше, чем второй, значит, первое уравнение будет иметь вид:

По условию скорость второго автомобиля на 30 км/ч больше, чем первого. Следовательно, еще одно уравнение запишется в виде у – х = 30. Таким образом, имеем систему:

Преобразуем первое уравнение системы:

Учитывая, что у – х = 30, получаем ху = 5400. Итак, исходная система уравнений равносильна системе:

решив которую найдем х₁ = 60, у₁ = 90; х₂ = -90, у₂ = -60. Второе решение не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: скорости автомобилей 60 км/ч, 90 км/ч.

Пример 2. Если одновременно открыть два крана, то бассейн наполнится за 4 ч. 30 мин. Если наполнить половину бассейна через один кран, а другую половину – через другой, то для наполнения бассейна потребуется 12 ч. За сколько часов заполняется бассейн через каждый кран?

Решение. Пусть первый кран наполняет бассейн за х ч., второй за у ч. Примем объем бассейна за единицу. Тогда 1/х – производительность первого крана, 1/y – производительность второго крана. Так как оба крана одновременно наполняют бассейн за 4,5 ч., то получим первое уравнение

Первый кран наполняет бассейн за х часов, поэтому для наполнения половины бассейна этим краном потребуется х/2 ч. Аналогично рассуждая, определим, что для наполнения половины бассейна вторым краном потребуется у/2 ч. Следовательно, из второго условия получим следующее уравнение:

Таким образом, имеем систему:

Преобразовав первое уравнение системы, получим:

9(24 – x) + 9x = 2x(24 – x) => x^{2 –} 24x + 108 = 0.

Решив квадратное уравнение, находим х₁ = 18, х₂ = 6.

Из второго уравнения системы получаем у₁ = 24 – 18 = 6 (ч.),

у₂ = 24 – 6 = 18 (ч.).

Итак, бассейн может быть наполнен первым краном за 18 ч или за 6 ч, а вторым – за 6 ч. или за 18 ч.

Ответ: 18 ч. и 6 ч.; 6 ч. и 18 ч.

Пример 3. Вкладчик кладет в банк, который выплачивает р% годовых, 160000 р. В конце года он берет себе 2400 р. из капитала и, приложив полученные проценты, снова помещает капитал на тех же условиях. По окончании второго года он взял опять 2400 р., у него осталось 168987 р. Сколько процентов годовых выплачивает банк?

Решение. Если банк выплачивает р% в год, то в начале второго года в банке лежит (160000  (1 + 0,01 р) – 2400) р. По окончании второго года имеем (160000  (1 + 0,01 р) – 2400)(1 + 0,01 р) р., следовательно, по условию задачи получим уравнение

(160000  (1 + 0,01 р) – 2400)(1 + 0,01 р) – 2400 = 168987,

или

16 р² +3176 р – 13787 = 0.

Решив последнее уравнение, найдем р₁ = 4,25, р₂ = -202,75. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: банк выплачивает 4,25% годовых.

Пример 4. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад – в 5 раз?

Решение. Пусть 8 лет назад брату было х лет, а сестре – у лет. Тогда по условию имеем первое уравнение х = 5у.

Два года назад брату было (х + 6) лет, а сестре (у + 6) лет. Следовательно, второе уравнение примет вид: х + 6 = 2(у + 6).

Итак, имеем систему:

решив которую, найдем: х = 10, у = 2.

Учитывая, что 8 лет назад брату было 10 лет, а сестре 2 года, находим, что сейчас брату 10 + 8=18 лет, а сестре: 2 + 8 = 10 лет.

Ответ: 18 лет брату и 10 лет сестре.

Пример 5. На межгалактическом конгрессе присутствовали 1996 участников. При этом выяснилось, что первый инопланетянин знаком с 97 землянами, второй – с 98 землянами, ..., последний – со всеми землянами. Сколько инопланетян и сколько землян было на конгрессе?

Решение. Пусть число инопланетян, присутствовавших на конгрессе, равно п. Тогда число землян равно 1996 – п. Инопланетянин с номером к (1  к п) знаком с к + 96 землянами. Следовательно, инопланетянин с номером n знаком с п + 96 землянами. Поскольку по условию задачи это были все земляне, присутствовавшие на конгрессе, получаем уравнение:

1996 – n = n + 96,

решив которое, найдем n = 950. Значит, землян на конгрессе было 1996 – 950 = 1046.

Ответ: на конгрессе было 950 инопланетян; 1016 землян.