4. Язык и правила выводов логики предикатов.

На языке логики предикатов можно выражать логические схемы, в которых отображается внутренняя структура суждений. В этом языке используются следующие семантические категории:

а) все семантические категории, используемые при построении языка логики высказываний (пропозициональные переменные, вместо которых можно подставлять высказывания с конкретным содержанием, и функторы, способные к порождению из одних высказываний других, более сложных высказываний;

б) пропозициональные функции вида P(x), Q(x), R(x,y),R(x,y,z) и т.п. (предикаты), где P, Q, R обозначают свойства предметов или отношение между ними, а x, y, z, ... — именные переменные (следует обратить внимание на то, что здесь термин “предикат” определен иначе, чем в традиционной логике);

в) имена предметов а, в, с, ..., которые можно подставить вместо переменных x, y, z, ...;

г) кванторы: общности  и существования .

Используя эти категории, можно составить различные выражения. Например, выражение  xP(x), которое читается: “Для всякого х верно, что х имеет свойство Р” (сокращенно: “Для всякого х: Р от х”), — и является схемой произвольного суждения, гласящего, что все предметы какого-то класса обладают свойством Р; выражение хР(х), которое читается: “Существует предмет, обладающий свойством Р” (сокращенно: “Существует х: Р от х”, — и является схемой произвольного суждения, гласящего, что существует предмет (хотя бы один), который имеет свойство Р; выражение х уР(х,у), которое является схемой произвольного суждения, гласящего, что всякий предмет находится в отношении Р к некоторому предмету у (сокращенно читается: “Для всякого х существует у: Р от х и у”).

Предикат, не расчлененный на другие предикаты, называется элементарным. Приписывание к предикату квантора общности или существования называется операцией связывания квантором.

Операция связывания квантором является одним из способов образования суждения из предиката. Вторым способом является подстановка вместо переменных их значений (постоянных).

Правильная подстановка, т.е. такая, в результате которой из истинных выражений получаются только истинные выражения, требует соблюдения определенных правил. Правила подстановки для логики предикатов первой ступени, где в качестве переменных могут выступать лишь именные переменные, следующие:

1. Подставляемые выражения должны принадлежать к той же предметной области, на которой определена переменная х;

2. Подстановка значений вместо переменной х возможна лишь там, где переменная свободна;

3. Если мы прибегаем к подстановке некоторого значения вместо переменной х, то подстановка осуществляется везде, где встречается х в данном выражении;

4. В результате подстановки ни одна свободная переменная не должна оказаться связанной.

К основным правилам выводов логики предикатов относятся все основные правила выводов логики суждений, а также правила удаления и введения кванторов. Правила для выражений логики предикатов с одной переменной следующие:

Правило удаления квантора общности: если имеется выражение вида F , то из него можно выводить выражение вида F^’, получающееся из F путем подстановки вместо переменной  постоянной или произвольной переменной.

Правило введения квантора общности: если в выводе имеется выражение вида F, то можно выводить выражение вида  F, с условием, что переменная  является связанной в посылках и допущениях.

Правило удаления квантора существования: если в выводе имеется выражение вида F, то можно выводить выражение вида F^’ , получающееся из F путем подстановки вместо переменной  некоторой постоянной, не встречавшейся ни в одной из строк вывода.

Правило введения квантора существования: если в выводе имеется выражение вида F, то можно выводить выражение вида F^’ , в котором F^’ получается из F путем подстановки вместо постоянной или переменной (везде, где она свободна) переменной , с условием, что переменная  является связанной в посылках и допущениях.