§ 34. Отрицание суждений. Виды отношений между суждениями

Попросту говоря, операция отрицания некоторого сужде ния А состоит в том, чтобы сказать: «Неверно, что А» (-, А). Однако обычно нас такой результат не удовлетворяет, и задача состоит не просто во внешнем отрицании, а в том, чтобы найти некоторые эквиваленты этого отрицания, в кото рых отрицание каким-то образом «пронесено» до некоторых частей этого суждения. Предположим, что в ходе расследо вания некто утверждает: «Неверно, что все члены преступной группы являются рецидивистами». Что же является верным и при этом эквивалентным исходному утверждению? Что ни один член преступной группы не является рециди вистом, или некоторые не являются рецидивистами, или не которые являются? Подскажем, что исходное отрицательное высказывание эквивалентно — «Некоторые члены преступ ной группы не являются рецидивистами». Впрочем, читатель, наверно, и сам это определил. Предлагаем ему тогда решить аналогичный вопрос для суждения: «Неверно, что каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех». Если и это ему кажется весьма простым, тогда предлагаем еще одно. Поло жим, кто-то утверждает: «Поскольку в группе имеются не удовлетворительные результаты сдачи экзамена по логике, то либо по этому предмету плохо были прочитаны лекции, либо не была должным образом организована самостоятель ная работа студентов». Другой заявляет, что это неверно. Что же с точки зрения последнего должно быть верным?

Решению подобных вопросов может существенно помогать знание так называемых правил образования противоположностей, точнее, контрадикторных противоположностей, или, что то же, противоречащих суж дений.

Высказывания А и В находятся в отношении противоречия, если одно из них эквивалентно отрицанию другого (-1А = В или, что то же, А = -,В).

Таким образом, -, А является противоречащим высказы ванию А. В этом же отношении к нему находится любое высказывание В, эквивалентное - i А. Ясно, что противоречащие (контрадикторно противоположные) суждения не могут быть одновременно оба истинными и не могут быть также оба ложными. Отсюда очевидно, что если исходное высказывание истинно, то противоречащее ему будет ложно и наоборот.

Для каждого высказывания А имеется неограниченное множество противоречащих ему высказываний, то есть эк вивалентных -> А По упомянутым правилам «пронесения от рицания» мы получаем такие высказывания, эквивалентные - I А, которые образуются посредством пронесения внешнего отрицания п А в структуру самого высказывания А в сочетании с определенными преобразованиями структуры этого высказывания. Для применения указанных правил к некоторому высказыванию -, А необходимо выявление логической формы высказывания А. Наиболее эффективный способ выполнения этой операции состоит в переводе данного высказывания на ЯЛВ или ЯЛП. Для всех высказываний, кроме категорических, такие переводы не представляют собой существенной перестройки их структур. Что касается категорических суждений, то мы уже говорили, что их знаковые формы являются специфическими для естественного языка, поэтому, формулируя правила пронесения отрицания, мы особо выделяем эти суждения, имея в виду при этом, что они представляются в стандартных формах. Для остальных высказываний эти правила уже сформулированы в §§ 10, 11 (см. «Законы образования контрадикторной противоположности»). Для удобства пользования напомним их еще раз:

-,(А&В) = (-,Av-,B).

-,(AvB)= (-.А&-.Я).

-л (А => В) = (А & -1 В).

-, -, А = А.

6. - iV - rA ( jc ) = 3 x - iA ( x ), где « = » — знак эквивалентности, то есть А = В «(Аз В) & {ВоА).

Для категорических суждений имеем (вместо слов «неверно, что...» употребляем знак « -, »):

-¦ Все S суть Р = Некоторые S не суть Р;

-1 Ни одно S не суть Р = Некоторые 5 суть Р;

-> Некоторые 5 суть Р = Ни одно S не суть Р;

-, Некоторые 5 не суть Р = Все 5 суть Р.

• Примеры

1. Возьмем суждение «Некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Его контрадикторная противоположность: «Неверно, что некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Задача состоит в том, чтобы найти высказывание, эквивалентное последнему, но без внешнего отрицания. Стандартная форма здесь, очевидно, такова «Некоторые 5 не суть Р» (неверно, что некоторые люди не есть лица, заинтересованные в высоких заработках. По правилу (для частноотрицательных суждений) имеем, что это эквивалентно: «Все 5 суть Р», то есть «Все люди заинтересованы в высоких заработках» (в стандартной форме: «Все люди есть лица, заинтересованные в высоких заработках»).

Читатель может сомневаться, истинно ли исходное сужде ние, противоречащее которому мы образовали. В данном слу чае для нас это не имеет значения. Важно лишь учитывать, что если оно истинно, то полученная нами его контрадиктор ная противоположность ложна и наоборот, если исходное вы сказывание ложно, то противоречащее ему истинно.

2. «Неверно, что можно курить в местах, где может возникнуть пожар». Выражение, стоящее здесь под отрицанием «неверно, что...») является, очевидно двусмысленным. Воз ьмем два варианта: «Нельзя курить во всех местах или в некоторых...». В первом случае, приводя суждение под отрицанием к стандартной форме, имеем: «Неверно, что все места, где может возникнуть пожар, суть места, где мож но курить», то есть «Все 5 суть Р». По правилу получаем, что это эквивалентно: «Некоторые 5 не суть Р», то есть «Некото рые места, где может возникнуть пожар, не суть места, где можно курить».

Во втором случае наше отрицательное высказывание, имеющее вид «Неверно, что некоторые 5 суть Р» эквивалент но: «Ни одно 5 не суть Р» («Ни одно место, где может возни кнуть пожар, не суть место, где можно курить»).

Само собой разумеется, что при выполнении операции отрицания сложного суждения, когда есть возможность про несения отрицания лишь до каких-то частей суждения, пра вомерно остановиться на любом шаге такого пронесения. Отрицая, например, суждение формы A ^ {В v (C& D )) мы мо жем получить А & -, {В v (С& D )) или А & -, В & -, (С& D )), или

• Упражнения

1. Образуйте контрадикторную противоположность сле дующим категорическим суждениям, приводя их к стандарт ной форме:

• а) никакой идеолог не может находиться вне влияния классовых интересов;

• б) многие учителя не имеют высшего образования;

• в) бывают океаны с пресной водой;

• г) не может быть свободен народ, угнетающий другие на роды;

• д) «Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые». 2. Укажите противоречащие суждения тем, что приведе ны в начале этого параграфа для самостоятельного решения.

виды логических отношений между высказываниями

Говоря о видах отношений между высказываниями, раз личают отношения логические и фактические. Для каждого вида логического отношения есть некоторый аналог фактического отношения. Первые зависят от логиче ских форм высказываний, вторые — от их конкретных содержаний. Мы ограничимся здесь в основном логическими отношениями. Это значит, что, рассматривая отношения между конкретными высказываниями, мы должны отвлекаться от их конкретных содержаний (а значит, и от того, являются ли взятые высказывания истинными или ложными).

Мы уже рассматривали такие виды отношений, как логическое следование, эквивалентность, противоречие, называемое также контрадикторной противоположностью. Это наиболее важные виды отношений, имеющие существенное зна чение в научном познании и практической деятельности. К ним следует добавить также отношение контрарной проти воположности.

Высказывания А и В находятся в отношении - рарной противоположности, если и только если В эквивалентно отрицанию С [В - -> С), где С — следствие А, но не эквивалентно ему (то есть А(=Си-.(С(=Л).

Более простым, равнозначным, образом это отношение может быть определено так:

Высказывания А и В контрарно противоположны, если и только если никакие высказывания, которые имеют те же логические формы, что А и В, не могут быть вместе истин ными, но могут быть вместе ложными. Таковы, например, высказывания вида «Все 5 суть Р» и «Ни одно 5 не суть Р». Очевидно, что здесь «Ни одно 5 не суть Р», согласно выше приведенным правилам пронесения отрицания, эквивалент но отрицанию «Некоторые S суть Р», а «Некоторые 5 суть Р» (высказывание С, фигурирующее в определении, является следствием суждения «Все 5 суть Р» и при этом не эквива лентно ему).

Содержательно ясно, что суждение вида «Все 5 суть Р» и «Ни одно 5 не суть Р» не могут быть оба истинными, но мо гут быть оба ложными. Как видим, отличие контрарной противоположности от контрадикторной состоит в том, что контрадикторно противоположные суждения не могут быть не только оба истинными, но и оба ложными. Для контрарных же суждений возможность ложности обоих не исключена.

Полезно также иметь в виду отношения более широкого характера. Это отношения совместимости (или несовмести мости) высказываний по истинности, а также совместимости (или несовместимости) их по ложности.

Совместимы по истинности такие высказывания А и В, которые могут быть оба истинными. Иначе, и в некотором смысле более точно, А и В совместимы по ис тинности, если и только если неверно, что из А следует -1 ?(-. (Ли-. В)). Значит, А и В несовместимы ис тинности, если и только если из А логически следует -. В(А N -п В)). Совместимость высказываний по истинности в логике иногда называют просто «совместимостью высказы ваний».

Высказывания А и В совместимы по ложности, если и только если они могу быть оба ложными.

Во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, что вместо выражения «высказывания А и В могут быть оба ложными или истинными» точнее надо было бы употребить выражение: «какие-нибудь высказывания, имеющие те же логические формы, что А и В, и, возможно, конечно, сами А и В, могут оказаться ложными (истинными)».

Иначе, А и В совместимы по ложности, если и только если неверно, что из -.А логически следует ?(-. (— i At = В}} или неверно, что из -. В логически следуетА(-, (-, В N А)). Отсюда ясно, что А и В несовместимы по ложности, если и только если из -. А логически следует В {-, A t = В или, что то же, -л В \= А).

Читатель легко убедиться, что отношения логического следования и эквивалентности — это виды отношения совместимости по истинности, а контрарная и контрадикторная противоположности — виды отношения несовместимости по истинности.

Ясно, что знание более общего отношения (совмести мость, несовместимость по истинности или по ложности) мо жет само по себе быть полезным в процессе познания, поскольку нередко нам важно решить вопрос только о том, могут ли какие-нибудь высказывания быть вместе истинными или вместе ложными. Установив, например, что высказывания не могут быть вместе истинными, можем заключить, что, по крайней мере, одно из них ложно, а при наличии знания о том, что одно из них истинно, сделать вывод о лож ности другого.

Внимательный читатель должен заметить, что данное здесь перечисление видов отношений между высказывания ми не есть классификация видов, хотя бы потому, что члены приведенного перечня видов отношений не исключают друг друга. Таковы, например, отношения логического следования и эквивалентности. Видом отношения, соподчиненного экви валентности, является так называемое отношение логического подчинения между высказываниями. В этом отношении находятся высказывания А и В такие, что из Л следует В (А (= В), но неверно, что из В следует А(-. {В \= А). Для логической же эквивалентности А и В, как мы знаем, имеет место следование в обе стороны {{А\=В)&(В\=А)).

Для осуществления классификации среди высказываний, совместимых по истинности, нужно было еще указать вид отношения между высказываниями А и В, аналогичный от ношению перекрещивания между объемами понятий. П е - рекрещивающимися высказываниями являются такие А и В, которые совместимы по истинности (при аналогичном отношении между понятиями — пересечение объ емов понятий не пусто!), но неверно, что из А следует В, и неверно, что из В следует А. Таковы, например, любые вы сказывания вида «Некоторые 5 суть Р» и «Некоторые 5 не суть Р» или рзд и -, pz > q .

Как мы видели, все виды отношений определимы посред ством понятия логического следования, что еще раз доказы вает фундаментальный характер этого понятия в логике. Учи тывая известную нам связь между логическим следованием и законами логики, отношение А t = В в этих определениях везде можно заменить на t = (А В) . Если теперь в этих определениях утверждение \= (А=> В) - утверждение об общезначимости A => В — заменить конкретным высказыванием Ад => В 0 , то по лучаем понятие фактического отношения для конкретных вы сказываний А 0 И В 0 , соответствующее данному логическому отношению, и где А и В суть логические формы данных кон кретных высказывании А 0 и В 0 . Так, аналогом логического следования между Л 0 и В 0 является такое отношение между ними, которое характеризуется тем, что истинна импликация А 0 => В 0 . Аналогом логического подчинения А 0 и В 0 является от ношение, которое характеризуется тем, что А 0 =>В 0 истинно, но В 0 =>А 0 не истинно. Если же истинны обе эти импликации, то имеем отношение фактической эквивалентности (равно значности) высказываний. Аналогом отношения противоре чия будет отношение, для которого характерна истинность импликаций: -пА 0 => В 0 иВ<р ^А 0 .

Обратим внимание читателя, что для фактических отно шений не подходят выражения типа: «Высказывания могут быть оба истинными» или «Не могут быть истинными», по скольку при учете конкретного содержания высказывания каждое из них уже истинно или ложно. Поэтому при характеристике фактических отношений должны учитываться ис тинностные значения высказываний.

отношения между категорическими суждениями

Обычно особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, ибо в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели в виду в основном категорические суждения, то есть суждения следу ющих видов:

Все 5 суть Р (тип А).

Ни одно S не суть Р (тип Е).

Некоторые 5 суть Р (тип I ).

Некоторые S не суть Р (тип О), как говорят, с одинаковой материей, то есть с одними и теми же субъектами и преди катами. Эти отношения изображают посредством так называемого «логического квадрата»:

По верхней горизонтали суждения типа А и Е контрарно противоположны, то есть несовместимы по истинности: они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными; сравни: «Все люди курят» и «Ни один человек не курит»).

По нижней горизонтали суждения типа / и О находятся в отношении «перекрещивания» (обычное название — «суб-контрарность»). Они несовместимы по ложности, то есть не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными).

По обеим вертикалям — отношение логического подчинения: суждение типа А подчиняет /, а / подчинено А; аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства: 1) если истинно общее суждение, то истинно и подчиненное ему частное; 2) если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее.

Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, — между А и О, Е и I — отношение контрадикторной противоположности (противоречия). Читатель без труда может охарактеризовать это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

• Упражнения

1. Используя правила «пронесения отрицания», укажите суждения, эквивалентные следующим:

• а) не все существительные изменяются по падежам;

• б) неверно, что ни один студент нашей группы не имеет высшего образования;

• в) неверно, что некоторые люди прочитали все художес твенные произведения;

• г) нет дыма без огня;

• д) неверно, что все юристы и только они способны пра вильно составить текст договора;

• е) неверно, что все люди, кроме лгунов, являются чест ными.

2. Используя правила пронесения отрицания, сформули руйте суждения, находящиеся в отношении противоречия к следующим:

• а) все существительные изменяются по падежам;

• б) встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике;

• в) если не совершишь преступления, то не будешь и на казан;

• г) если предприятие нерентабельно, то на нем плохо орга низована работа или устарело оборудование;

• д) если слово является именем существительным, то оно изменяется по падежам и по числам;

• е) либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого;

• ж) ни один человек, кроме спортсмена, не может пробе жать марафонскую дистанцию.

3. Установите, являются ли эквивалентными следующие высказывания:

• а) сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе;

• б) если слово ставится в начале предложения, то оно пи шется с большой буквы. Неверно, что слово ставится в нача ле предложения и при этом не пишется с большой буквы;

• в) если на улице не идет дождь, то на улице не сыро. Если на улице не сыро, то не идет дождь;

• г) если Н. является следователем, то он является юрис том. Если Н. не является следователем, то он не юрист.

• д) если человек лжет, то он не является честным. Если че ловек является честным, то он не лжет.

отношения между категорическими суждениями

Обычно особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, ибо в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели в виду в основном категорические суждения, то есть суждения следу ющих видов:

Все 5 суть Р (тип А).

Ни одно S не суть Р (тип Е).

Некоторые 5 суть Р (тип I ).

Некоторые S не суть Р (тип О), как говорят, с одинаковой материей, то есть с одними и теми же субъектами и преди катами. Эти отношения изображают посредством так называемого «логического квадрата»:

По верхней горизонтали суждения типа А и Е контрарно противоположны, то есть несовместимы по истинности: они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными; сравни: «Все люди курят» и «Ни один человек не курит»).

По нижней горизонтали суждения типа / и О находятся в отношении «перекрещивания» (обычное название — «суб-контрарность»). Они несовместимы по ложности, то есть не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными).

По обеим вертикалям — отношение логического подчинения: суждение типа А подчиняет /, а / подчинено А; аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства: 1) если истинно общее суждение, то истинно и подчиненное ему частное; 2) если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее.

Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, — между А и О, Е и I — отношение контрадикторной противоположности (противоречия). Читатель без труда может охарактеризовать это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

• Упражнения

1. Используя правила «пронесения отрицания», укажите суждения, эквивалентные следующим:

• а) не все существительные изменяются по падежам;

• б) неверно, что ни один студент нашей группы не имеет высшего образования;

• в) неверно, что некоторые люди прочитали все художес твенные произведения;

• г) нет дыма без огня;

• д) неверно, что все юристы и только они способны пра вильно составить текст договора;

• е) неверно, что все люди, кроме лгунов, являются чест ными.

2. Используя правила пронесения отрицания, сформули руйте суждения, находящиеся в отношении противоречия к следующим:

• а) все существительные изменяются по падежам;

• б) встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике;

• в) если не совершишь преступления, то не будешь и на казан;

• г) если предприятие нерентабельно, то на нем плохо орга низована работа или устарело оборудование;

• д) если слово является именем существительным, то оно изменяется по падежам и по числам;

• е) либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого;

• ж) ни один человек, кроме спортсмена, не может пробе жать марафонскую дистанцию.

3. Установите, являются ли эквивалентными следующие высказывания:

• а) сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе;

• б) если слово ставится в начале предложения, то оно пи шется с большой буквы. Неверно, что слово ставится в нача ле предложения и при этом не пишется с большой буквы;

• в) если на улице не идет дождь, то на улице не сыро. Если на улице не сыро, то не идет дождь;

• г) если Н. является следователем, то он является юрис том. Если Н. не является следователем, то он не юрист.

• д) если человек лжет, то он не является честным. Если че ловек является честным, то он не лжет.

50