§ 32. Связь между простыми суждениями со сложными субъектами и предикатами и сложными суждениями. Преобразование категорических суждений за счет расширения субъектов

Собственно, мы уже рассматривали примеры простых сужде ний со сложными субъектами или предикатами (возможно, конеч но, и то и другое, то есть дизъюнкция здесь слабая). Это случаи, когда субъект или предикат суждения есть понятие, основное со держание которого составляет сложный предикат (сложную выска- зывательную форму). Таковым является суждение о каждом теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, — субъект суждения, и для которого верно, что оно находится в покое или движется равномерно и прямоли нейно, — предикат суждения. Другие примеры: «Всякое число, ко торое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5»; «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3»; «Для всякого числа вер но, что если оно оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5». Едва ли надо разъяснять, что в этих суждениях субъект или преди кат являются сложными.

Возможно, стоит обратить внимание читателя лишь на послед ний пример. Субъект здесь, очевидно, общее имя — «число», а предикат является сложным — импликативным: «Если оно (некото рое число х) оканчивается на 5 или на 0, то оно (это же число х) делится на 5». Читатель может, безусловно, сам убедиться, что все эти суждения являются простыми, поскольку ни в каком из них нельзя выделить такую часть, не совпадающую со всем суждением, которая в свою очередь была бы суждением. Однако для некоторых из этих суждений мы можем указать эквивалентные им сложные суждения. Так, суждение: «Всякое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5» эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое оканчивается на 0, делится на 5» и «Всякое число, которое оканчивается на 5, делится на 5». Простое суждение: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3» так же эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2» и «Всякое число, которое делится на 6, делится на 3». Имеющиеся здесь отноше ния эквивалентности имеют общий характер, то есть справедливы для всех суждений, имеющих те же логические формы:

(Всякий предмет х из некоторой области D , имеющий свой ство А или В, есть С (иначе, есть предмет х, обладающий свойством Q ) = (Всякий предмет х из некоторой области D , который имеет свойство А, есть q и (Всякий предмет х из некоторой области D , который имеет свойство В, есть С).

(Всякий предмет х из области D , обладающий свойством А, есть предмет х, обладающий свойствами В и О, = (Всякий предмет х из области D , обладающий свойством А, есть В) и (Всякий пред мет х из области D , обладающий свойством А, есть С).

Аналогичным образом могут разлагаться на сложные суждения не только категорические, которые мы только что рассмотрели, но и суждения об отношениях.

Например, суждение вида V * {[А(х) v В(х}) z > Ъу [С(у) & Щх , у))) 1 . Впрочем, если учесть, что суждение об отношении может быть ис толковано как атрибутивное, то этот случай сводится к первой из указанных эквивалентностей. Так, суждение об отношении «Для

1 Оно будет эквивалентным

Vx ( A ( x ) z > ly ( Qy ) & Щх, у))) & V * (Щх) =>1у(С{у) & Щх, у))).

всякого предмета х, который обладает свойствами А или В, суще ствует предмет у, обладающий свойством С, такой, что для них верно Rfx , у)», мы сводим к атрибутивному со сложным объектом: «Всякий предмет х, обладающий свойством А или В, есть предмет такой, что существует предмет у, обладающий свойством С, к кото рому х находится в отношении R ». Теперь оно разлагается как ка тегорическое суждение со сложным дизъюнктивным субъектом (см. эквивалентность № 1).

• Упражнения

Покажите, как можно разложить на сложные суждения при веденное выше простое суждение о теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, и об ратное ему.

Осуществите операцию разложения на сложные в отношении простого суждения: «Всякое слово, которое является существительным или прилагательным, изменяется по падежам и лицам».

По существу, как мы видим, разложению на сложные поддают ся общие категорические суждения с дизъюнктивными субъектами или конъюнктивными предикатами («или» здесь — слабая дизъюнкция). Но не может быть разложено на сложное простое суждение вида V * (А{х) & В(х)) есть С{х)), например, «Всякое число, делящееся на 2 и на 3, делится на 6».

Суждение вида «Некоторые А или В суть С» эквивалентно дизъюнктивному сложному суждению: «Некоторые А суть С или Некоторые В суть С». Суждение же вида «Некоторые А суть В или С» эквивалентно: «Некоторые А суть В или Некоторые А суть С». Эти эквивалентности справедливы и для соответствующих отрица тельных суждений, то есть частные суждения разлагаются на сложные лишь в случаях сложных дизъюнктивных субъектов или предикатов.

Далее, полезно иметь в виду следующие эквивалентности для категорических суждений (субъекты и предикаты которых есть по нятия и при этом субъекты их не являются пустыми понятиями). Суждение вида «Всякий предмет х из области D , обладающий свойством S , суть предмет из этой же области, обладающий свой ством Р» эквивалентно: «Всякий предмет D таков, что если он обла дает свойством 5, то он обладает также и свойством Р». Эта эквивалентность используется при переводах категорических суждений вида «Все 5 суть Р» на язык логики предикатов (ЯЛП), в котором оно получает форму выражения: Vjc ( S ( x ) пР(х)). Но при таком пе реводе мы подразумеваем некоторую область возможных значений х — D , которая, естественно, должна подразумеваться и в исходном — переводимом — суждении. Суждение, получаемое при переводе, также категорическое, с субъектом — D и импликатив-ным предикатомЯ*уЬ Р(х).

Общеотрицательное суждение «Ни один предмет из области D , обладающий свойством 5, не есть предмет из D , обладающий Р» эквивалентно «Для всякого предмета D верно, что если он обладает свойством S , то он не обладает свойством Р». Соответственно этому суждение «Ни одно 5 не суть Р» на ЯЛП выражается: Vx ( S { x ) ¦=> -.Р(х)), при условии опять-таки, что область значений х D подразумевается в формулировке исходного суждения.

Для частных суждений имеем: «Некоторые предметы из области D , обладающие свойством S , суть предметы, обладающие свойством Р» эквивалентно «Некоторые предметы из области D таковы, что они обладают свойством S и Р».

«Некоторые предметы из области Д обладающие свойством S , не суть предметы, обладающие свойством Р» эквивалентно «Некоторые предметы D таковы, что они обладают свойством 5 и не обладают свойством Р».

На основе этих эквивалентностей совершаются следующие переводы частных суждений на ЯЛП:

Некоторые 5 суть Р г Эх { S ( x ) & Р(х)).

Некоторые S не суть Р = lx ( S ( x ) & -,Р(х) ), при этом - как и для общих суждений — область значений х должна подразумеваться в исходных суждениях.

• Таким образом, при указанных преобразованиях категорические суждения остаются категорическими, но с более широкими субъектами (область D ) и при этом предикаты общих суждений преобразуются в импликативные, а частных — в конъюнктивные.

Однако такие преобразования, как уже было замечено, правомерны лишь при определенном условии, а именно: в том случае, когда понятие, играющее роль субъекта исходного категорического суждения, не является пустым, то есть имеет какое-то предметное значение. В противном случае не получается приведенных эквивалентностей. Например, суждение «Всякий человек, который не нуждается в пище, может жить не работая» (в стандартной форме: «Всякий человек, который не нуждается в пище, суть человек (лицо), который может жить, не работая») при указанном преобразовании приобретает форму: «Для всякого человека верно, что если он не нуждается в пище, то он может жить, не работая». Последнее суждение является, очевидно, истинным (тем более при понимании «если..., то...» как материальной импликации; в этом случае оно истинно в силу ложности, невыполнимости антецедента, то есть высказывательной формы «человек, не нуждающийся в пище», для любого человека). Исходное же суждение скорее всего нельзя признать истинным или ложным. «Истинность» и «ложность» есть соответствие или несоответствие нашей мысли действительности, а в действительности нет таких предметов, к которым относится утверждение.

В логике, правда, есть различные точки зрения относительно истинностных оценок высказываний с пустыми субъектами. Одна из них, которая приписывается Аристотелю, такова: утвердительные суждения с пустыми субъектами ложны, а отрицательные — истинны независимо от их содержаний. Согласий другой, все общие суждения с пустыми субъектами истинны, а частные ложны, опять-таки независимо от их содержаний. Но обе эти, как и другие, концепции представляют собой, по существу, произвольные соглашения и в каких-то случаях оказываются явно несостоятельными.

Например, вечный двигатель, по определению, есть двигатель, который работает без затраты энергии. Но, согласно первой концепции, суждение «Все вечные двигатели работают без затраты энергии» — ложно, хотя согласно второй, — оно истинно! Скорее всего такие суждения (с пустыми субъектами) следует считать неосмысленными, лишенными реального содержания, а в практике научного познания едва ли кто-нибудь будет высказывать такие суждения. Может, правда, оказаться, что мы не знаем, является ли некоторое понятие (и соответствующее общее имя) пустым или непустым. В физике, например, встречается такое понятие как «антиатом» (атом, устроенный «наоборот» по сравнению с обычным — с отрицательно заряженным ядром и вращающимися вокруг него положительно заряженными частицами, позитронами, вместо электронов). Но не зная, есть ли такие частицы, ни один ученый не скажет, например, что всякий антиатом при ионизации — при потере внешних позитронов — становится отрицательно заряженной частицей. Для выражения той мысли, которая фактически здесь имеется в виду, есть адекватная форма выражения, а именно: форма выражения категорического суждения с импликативным предикатом: «Для всякой частицы верно, что если она является антиатомом, то при ионизации она становится отрицательно заряженной».

Надо, конечно, заметить, что в науке для определенных целей, например, для обеспечения определенных обобщений, исключения мнимых оговорок употребляются суждения по-видимому и с пустыми субъектами. Так, в проективной геометрии вводятся понятия «бесконечно удаленной точки», «бесконечно удаленной прямой» и т. п. Многие имена, не обеспечивающие никаких реальных предметов, играют определенную инструментальную роль в науке. Таковы: системы координат, небесные и земные полюса, оси вращения и т.д. (см. § 12). Осмысленность суждений, относящихся к воображаемым объектом указанных типов, обусловлена тем, что они вводятся в определенной системе знаний и исходя из этой системы определяются условиями их истинности или ложности. А, соответственно, истинность или ложность во многих таких случаях не представляет собой соответствие или несоответствие действительности. Это — так называемые «истины по соглашению». Но сами соглашения, конечно, так или иначе научно обоснованы. Строго говоря, термины указанных типов, включенные в определенные системы знания, неправомерно уже считать пустыми, поскольку имеются определенные условия истинности или ложности утверждений, включающих такие термины.

Упражнения

1. Для каждого из следующих простых суждений укажите сложное, эквивалентное ему:

• а) всякое число, оканчивающееся на 0, делится на 6 и на 2;

• б) некоторые числа, которые делятся на 2 или на 3, делятся на 5;

• в) некоторые люди, не выполняющие своих обещаний, являют ся безвольными или непорядочными.

2. Укажите, как можно преобразовать следующие категориче ские суждения путем расширения их субъектов:

• а) ни одно сражение, которое дал Суворов, не было проиграно;

• б) многие реки текут с юга на север;

• в) все имена прилагательные изменяются по падежам;

• г) имелись подозреваемые, не проходившие по дактилоскопи ческим учетам.