§ 31. Понятие необходимого и достаточного условия

Условная связь «если..., то...» будучи средством выражения законов науки, полезна также для выяснения важных с точки зрения логической культуры понятий необходимого и достаточного условия чего-либо.

Мы говорим, что обстоятельство А (признак, событие, явление и т. п.) является достаточным условием обстоятельства В, если и только если Л и В связны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказывание «Если Л, то В».

Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А, отсутствует В, то есть в каждом случае истинно высказывание «Если неверно Л, то неверно В» (это высказывание эквивалентно высказыванию «Если В, то А»).

Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие А, и наоборот. А из приведен ного выше примера видно, что делимость суммы цифр числа на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым? Известно из арифметики, что это действительно так.

С понятиями необходимых и достаточных условий в математике связаны понятия прямой и обратной теорем. Формулируя теорему вида «Если А, то В», уста навливают достаточность условия А для В. Установление же того, что имеет место и обратная теорема «Если В, то А» означает указание того, что А является и необходимым усло вием для В (поскольку «Если В, то А» равносильно «Если не- А, то не-В»). Имея теорему вида «Для всякого объекта неко торого класса (геометрических фигур, чисел и т. п.) верно, что если он обладает свойством А, то он обладает свойством В», ставят обычно вопрос, а верно ли обратное - «Если В, то А»? Если так, то мы имеем также и обратную теорему по от ношению к первой. Подобные рассуждения относятся не только к математике. Теорема математики — это некоторый закон математики, аналогичные вопросы возникают по отношению к законам любой науки. Будучи выраженным либо в форме «Всякое S суть Р» (всякий предмет некоторого класса М, обладающий свойством S , обладает свойством Р) или в виде «Для всякого предмета класса М верно, что если он об ладает свойством S , то он обладает свойством Р», он - при условии правильной формулировки закона - содержит указание достаточного условия 5 для существования Р. И, конечно, не лишен при этом познавательного значения вопрос: не верно ли и обратное? Естественно, само S может быть сложным свойством, хотя бы в том смысле, что оно является объединением множества свойств, и достаточным условием Р является именно совокупность свойств. Вспомним, напри мер, закон классической механики: «Всякое тело (М), на ко торое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (5), находится в покое или движется равномерно и прямолинейно (Р)». Но полезно, конечно, знать, что верно обратное: «Всякое тело, которое находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, есть тело, на которое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю». Таким образом, признак, состоящий в том, что на тело не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю ( S ( x )), является достаточным и необходимым для признака «тело покоится или движется равномерно и прямолинейно» [Р{х)).

Ш Упражнения

Выясните, является ли достаточным и необходимым условием для указанного выше признака Р признак: «На тело не действуют никакие силы» (5 t )? (Точнее Р{х) и S x ( x ), поскольку знаковыми формами признаков, как помнит читатель, являются предикаты).

Аналогичную задачу решите для признака «равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю»

Заметим, что вообще для любых двух признаков S ( x ) и Р{х) (относящихся к некоторому классу предметов М - области значений переменной х) справедлива классификация:

1) Один из них является достаточным и необходимым ус ловием для другого или

• достаточным, но не необходимым, или

• недостаточным, но необходимым, или, наконец,

• недостаточным и не необходимым.

Выше уже приведены примеры признаков достаточных и необходимых; читатель, только что выполнивший упражнение, наверное установил, каковы отношения между S x ( x ) и Р(х), а также между S 2 { x ) и Р(х). Для некоторых подскажем, что S x { x ), как и S 2 ( x ), достаточен для Р{х), но не необходим.

Аналогично, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уголовной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Но гласность, являясь необходимым условием демократии, не является в то же время достаточным, как и, например, повышение производительности труда для повышения уровня благосостояния общества. Между тем рост человека, его возраст и, конечно, пол не являются ни достаточными и ни необходимыми условиями для усвоения логики.

И, наконец, вспомним определение основного содержания понятий. Его составляет совокупность признаков, каждый из которых необходим, а все вместе они достаточны для решения вопроса о том, относится ли какой-нибудь предмет к объему понятия, то есть к классу обобщаемых предметов.

Знание самих понятий, необходимых и достаточных условий может быть весьма полезным для образования тех или иных понятий, для выяснения смыслов имен. При этом оно может избавить человека от хаотического и излишнего перечисления признаков предметов, способствовать минимизации тех данных, которые характеризуют тот или иной предмет или предметы некоторого вида. Именно требование указанной минимизации подразумевается обычно в обращении учителя к ученику или вообще к тому или иному человеку: «Выделяйте существенное», «Не нужно второстепенного, не идущего к делу» и т. п. Требования такого рода часто означают: укажите достаточные и необходимые признаки предметов данного класса.

• Упражнения

1. К какому виду — с точки зрения необходимости и с точки зрения достаточности — принадлежат следующие условия:

• а) делимость числа на 2 и на 3 для делимости его на 6;

• б) активное участие общественности в борьбе с преступ ностью для ликвидации преступности;

• в) мутации для естественного отбора;

• г) круглая тень Земли на поверхность Луны для призна ния истинности утверждения о шарообразности Земли;

• д) нагревание металлического стержня для его расшире ния;

• е) наличие тренировок для установления рекордов;

• ж) наличие дыма для огня;

• з) знание предмета для получения отличной оценки по нему на экзамене;

• и) истинность одного члена дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;

• к) истинность обоих членов дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;

• л) ложность антецедента для истинности импликации; м) ложность обоих членов дизъюнкции для ложности всей дизъюнкции;

• н) ложность консеквента для истинности импликации.

2. Пользуясь определениями необходимого и достаточно го условий, сформулируйте соответствующие суждения с употреблением связки «если..., то...» (« з »):

• а) А есть необходимое условие для В;

• б) В есть необходимое условие для А;

• в) А есть необходимое, но не достаточное условие для В;

• г) В есть достаточное, но не необходимое условие для А;

• д) А не достаточное и не необходимое условие для В;

• е) неверно, что А достаточное и необходимое условие для В;

• ж) неверно, что А не достаточное условие для В или В не необходимое условие для А.

3. Какие суждения относительно достаточности или необ ходимости условий можно сформулировать исходя из истин ности высказываний вида:

• а) р => q ;

• б) —1 р=э -, д ;

• в) -.ргэд;

• г) -,д=>р;

• д) (рлг) z > s ;

• е ) -> S 3( pvqr ).