§ 30. Виды сложных суждений

Напомним, что сложным является такое суждение, кото рое содержит в качестве своей правильной части некоторое (по крайней мере одно) другое суждение. Основные виды сложных суждений упомянуты и даны в определениях фор мул в ЯЛВ и ЯЛП. Это конъюнктивные — вида (А & В), дизъ юнктивные — { A v В) , импликативные — (А г> В) и образован ные из других суждений с использованием операции отрица ния ------ 1 А, где А и В есть какие-то простые или, в свою оче редь, сложные суждения. Например, к виду (А & В) будут от носиться ((А & В) & С), как и (А & (В& Р), а также (А & (В v Q ), (А & (В => С)) и т. п., где А, В, С — какие-нибудь суждения. Ина че говоря, вид сложного суждения определяется той логиче ской константой, которая представляет последнюю операцию при образовании данного высказывания. Конечно, эта по следняя операция не определяет всей структуры высказыва ния. Собственно основная задача анализа сложных суждений состоит не только в описании их логических структур, сколь ко в выяснении способов их возможных преобразований, особенно таких, результаты которых являются эквивалентны ми. Эквивалентные суждения иногда вообще даже не различают. Так, не различают, например, суждения (Л& (В& Q ) и ((Л & В) & С), сводя их к виду Л & В & С. Однако, строго говоря, это не точно: эти две знаковые формы выражают разные суждения. Но они равносильны (в силу закона ассоциатив ности конъюнкции) и отождествлять их можно, опуская скобки вообще, лишь тогда, когда нас интересует только истин ностное значение суждения или (что то же) информация, ко торую выражает данная знаковая форма, а не само оно как смысл некоторого предложения. Аналогичным образом дело обстоит и для высказываний вида (Л v В).

Следует обратить внимание на некоторые особенности выражения суждений в естественном языке. Во-первых, мы можем иметь здесь сложные суждения, составные смысловые части которых не выделены как особые части знаковой фор мы этого суждения. Пример такого рода мы уже приводили (относительно различения протонов и нейтронов - § 29).

Во-вторых, особенности высказываний в естественном языке проявляются и в том, что одни и те же логические константы могут иметь разные смыслы в различных ситуа циях. Например, знаку « v » формализованного языка в есте ственном соответствует слово «или», но взятое в некотором определенном смысле — образованное с его помощью вы сказывание «А или В» указывает на наличие какой-нибудь из двух ситуаций А и В, не исключая возможность наличия той и другой (слабая дизъюнкция). Однако мы упо требляем в естественной речи дизъюнкцию и в таком смыс ле, при котором высказывание «Л или В» означает: «Имеет место ситуация Л или В, но не обе вместе» (сильная, или строгая, дизъюнкция). Правда, в русском языке чаще в таких случаях употребляют слово «либо», то есть вместо «Л или В» употребляют фразу «Л либо В» (а иногда даже - «либо А, либо В»). Высказывание с сильной дизъюнкцией может быть выражено через слабую с использованием отрицания. А именно: «Л либо В» выражает ту же информацию, что и следующие конъюнктивные высказывания: «А или В и не верно, что Л и В», «Л или В и неверно А или неверно В». Ис пользуя, как это часто делается в формализованных языках, для сильной дизъюнкции знак « v » и знак « = » для отношения квивалентности (равнозначности, равносильности) между высказываниями, мы можем выразить приведенные эквивалентности точным образом:

Таким образом, утверждение с сильной дизъюнкцией является более сильным, то есть информативным, поскольку представляет собой конъюнкцию утверждений. Ничто не мешает нам, конечно, употреблять слабую дизъюнкцию, утверждая «А или В», когда ситуации А и В в действительно сти исключают друг друга. Мы можем это делать, когда хотим выразить информацию лишь о том, что есть лишь две эти возможности, оставляя открытыми вопрос о том, совместимы или несовместимы А и В (нас это не только может не интересовать, но мы можем даже этого и не знать). Если для решения той или иной задачи достаточно этого, то нецелесообразно даже употреблять более сильное утверждение «А либо В», поскольку при этом к существенному для реше ния именно этой задачи добавляется несущественное для него. А это затрудняет понимание рассуждения и утвержда ющему это больше вероятности ошибиться. К тому же, чем больше утверждается, тем больше надо и доказывать. Поэтому в таких ситуациях справедливым представляется принцип: «Не утверждай больше, чем нужно!»

и- i А вместе, например, истинными быть не могут, но не могут быть оба и ложными. Однако два эти утверждения «разводятся» в логике и выражаются в виде двух различных законов. Один из них — закон исключенного третьего — говорит, что для любого высказывания А верно: А или -,А ( A v -. А). Другой — закон противоречия — указывает: невер но, что А и -1 A h (А &-.А)).

По смыслу ясно, что как для сильной, так и для слабой дизъюнкции высказывание «А или В» эквивалентно «В или А», то есть или оба истинны или оба ложны. Это свойство дизъюнкции называется коммутативностью (перестановочностью) .

Разные употребления имеют и союзы «и», «если..., то...», соответствующие конъюнкции («&») и импликации (« z >») в формализованных языках. Для конъюнкции, например, име ет место эквивалентность: А & ? = В & А. Однако явно не эк вивалентны высказывания: «Человек М совершил правонарушение и понес наказание» и «Человек М понес наказание и совершил правонарушение». Здесь употребляется так называемая конъюнкция, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. Употребляя в формализованных языках «&», мы отвлекаемся от порядка событий в действительности и, конечно, это правомерно лишь в тех случаях, когда в самой действительности последо вательность не является существенной. Конъюнкция в таком случае обладает свойством коммутативности как и дизъюнк ция. То есть «Л и В» эквивалентно «В и А» (Л & В = В & А).

Этим свойством не обладает логическая связка, рассмат риваемая ниже — импликация ( ID ). В русском языке вместо слова «и» для обозначения конъюнктивной связи высказываний А и В употребляются также: «Л и В имеют место однов ременно»; «Как А, так и В»; «Л, хотя и В»; «Не только А, но и В»; «А несмотря на В»; «А, в то время, как В» и т. д. Ясно — по смыслу связки «и», — что вместо одного сложного высказывания «А и В» мы можем высказать одно за другим два высказывания: «А» и «В» (то есть «А», «В»). Эти два случая в естественном языке часто даже трудно различить, какой из них имеет место. Часто это приходится решать по контексту.

Многообразные аналоги имеются в естественном языке также и для импликации («з»). Основная знаковая форма, соответствующая высказыванию «АэВ» в естественном языке: «Если А, то В», хотя часто употребляют такие: «По скольку А, постольку В»; «Коль скоро А, то В»; «В, если А»; «А достаточно для В»; «В необходимо для А» или просто, опуская логическую связку, говорят: «Назвался груздем — полезай в кузов»; «Сказал А - говори В». Во всех таких слу чаях подразумевается: «Если А, то В». Эти случаи надо отли чать от тех, когда словосочетание «если..., то ...» употребля ется вместо союза «и» в совокупности с некоторым противо поставлением, например, «Если вчера было жарко, то сегодня хоть пальто надевай».

Однако и сама логическая связка «если..., то...» может иметь разные смыслы в естественном языке. Обычно ука занный союз выражает связь между некоторыми свойствами предметов или связь между явлениями, событиями, процессами и т. п. (детерминированность, обусловленность одного другим) и истинность всего сложного суждения (в отличие от того, когда «если..., то...» представляет определенную ранее импликацию, которая называется «материальной импли кацией») не зависит от истинностных значений составляющих его простых. Например, одинаково истинными будут утверждения: «Если сумма цифр числа 357 делится на 3, то и само это число делится на 3» и «Если сумма цифр числа 457 делится на 3, то и само это число делится на 3». Оба эти суждения истинны, поскольку оба они выражают действительно имеющуюся связь между указанными свойствами чи сел (представленных в десятичной системе). При замене ус ловной связи материальной импликацией, то есть при истолковании «если..., то...» как материальной импликации, оба эти суждения также будут истинными. Но истинным ока жется также и утверждение: «Если сумма цифр числа 457 делится на 3, то это число делится на 5», — хотя ясно, что нет никакой связи между делимостью суммы цифр числа на 3 и делимостью самого числа на 5. Данное же высказывание ис тинно согласно приведенным ранее (см. § 10) условиям истинности импликативных высказываний; в нашем случае — в силу ложности антецедента высказывания. Утверждение условной связи сильнее, чем утверждение «Если А, то В» в смысле материальной импликации: всегда, когда истинно первое — истинно и второе, но не наоборот. Употребляя материальную импликацию, мы отвлекаемся от связи между высказываниями по содержанию, то есть от связей между ситуациями, которые описывают эти высказывания. Это обусловливает некоторые «странности», которые иногда даже характеризуют как парадоксы материальной импликации. Однако, несмотря на это упрощение рассматриваемой логической связки, а именно даже благодаря этому упрощению, она оказывается весьма полезной для описания различных форм дедуктивных выводов. Заметим, что в настоящее время в логике построены и такие формализованные языки и аппарат дедукции, в которых импликация (обозначаемая обычно « -» ») адекватна указанной связке, «если..., то...». Языки этого рода полезны для выражения именно таких вы сказываний, где необходимо отразить наличие связей между ситуациями действительности, например, в формулировках законов науки. Логические исчисления указанных типов получили название релевантной логики 1 .

• 1 См., например, Войшвилло Е. К. Символическая логика. Классическая и релевантная. — М.: Высшая школа, 1989.

Упражнения

1. Определите, какие из указанных высказываний являются сложными, и переведите их на язык логики высказываний, обозначив простые составляющие сложного суждения отдельными буквами:

• а) Кто любит трудиться, тому без дела не сидится;

• б) Он и рад бы косить, да некому косу носить;

• в) Если некоторое число N оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5 и если число не делится на 5, то оно не оканчивается ни на 0, ни на 5;

• г) Есть ложь, не заслуживающая порицания;

• д) Если на приговор подана жалоба или принесен про тест, дело подлежит передаче в вышестоящий суд;

• е) Кончив дело — гуляй смело или продолжай работать;

• ж) Если какой-то человек сказал неправду, то он или не знает действительного положения дел или умышленно вво дит в заблуждение других, но ни то и другое вместе;

• з) Ни один прокурор не является адвокатом; и) Какая бы ни была работа, если взялся за нее, то дово ди до конца.

• к) Если еще в прошлом веке автомобиль был роскошью, то в нынешнем — это средство передвижения.