МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

А.С. Холодов, А.И. Лобанов, А.В. Евдокимов

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Методические указания к лабораторным работам

по курсу «Нелинейные вычислительные процессы»

Москва  2001

Содержание

1. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 5

1.1. Жесткие ОДУ 5

1.1.1. Линейные однородные уравнения 1-го порядка 5

1.1.2. Системы линейных однородных уравнений 6

1.1.3. Пример: задача Коши для линейного однородного уравнения второго порядка 7

1.1.4. Нелинейные жесткие уравнения 10

1.1.5. Пример: сингулярно-возмущённая нелинейная система второго порядка 11

1.1.6. Произвольная система нелинейных уравнений 13

1.2. Примеры простейших разностных схем для жестких ОДУ 14

1.2.1. Способы построения схем 14

1.2.2. Требования к численным методам решения жёстких систем ОДУ 16

1.3. Одношаговые методы типа Рунге–Кутты 19

1.3.1. Алгоритм 19

1.3.2. Аппроксимация 21

1.3.3. Устойчивость 22

1.3.4. Примеры схем Рунге–Кутты 27

1.4. Линейные многошаговые схемы (методы типа Адамса) 31

1.4.1. Алгоритм и аппроксимация 31

1.4.2. Устойчивость 34

1.4.3. Примеры линейных многошаговых схем 35

1.5. Схемы для продолженных систем (схемы Обрешкова) 37

1.5.1. Алгоритм и аппроксимация 37

1.5.2. Устойчивость 38

1.6. Контрольные вопросы 40

1.6.1. Общие вопросы к лабораторным работам 1–3 40

1.6.2. Схемы Рунге–Кутты (работа №1) 41

1.6.3. Линейные многошаговые схемы (работа №2) 41

1.6.4. Схемы для продолженных систем (работа №3) 41

2. Примеры жёстких систем ОДУ 42

2.1. Модель Филда–Нойса «орегонатор» 42

2.2. Уравнение Ван-дер-Поля 42

2.3. Система Ван-дер-Поля и траектории-утки 43

2.4. Суточные колебания озона в атмосфере 43

2.5. Уравнение Бонгоффера–Ван-дер-Поля 44

2.6. Сингулярно-возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа 44

2.7. Простейшая модель гликолиза 45

2.8. Модель химических реакций Робертсона 45

2.9. Модель дифференциации растительной ткани 46

2.10. Задача E5 46

2.11. Уравнение Релея 47

2.12. Экогенетические модели 47

1.Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)

1.1.Жесткие оду

1.1.1.Линейные однородные уравнения 1-го порядка

Рассмотрим вначале простейшее уравнение:

(1)

на отрезке

(2)

и задачу Коши для (1):

u(0) = u₀. (3)

Решение (1) – (3), очевидно,

. (4)

Если , имеем неограниченное (неустойчивое) решение (рис. 1.1). В этом случае надо просто интегрировать (1) с шагом по времени, обеспечивающим необходимую точность, до тех пор, пока это возможно.

Рис. 1.1.	Рис. 1.2.	Рис. 1.3.

Если , то решение задачи (1) – (3) ограниченное ( ). С точки зрения вычислителя здесь важна величина отрезка интегрирования T. Если , то имеем обычную ситуацию (рис. 1.2), можно пользоваться стандартными методами численного интегрирования (Эйлера, Эйлера–Коши, Рунге–Кутты, Адамса и т. д.). Если , то имеем решение типа «пограничного слоя» (рис. 1.3) с резким изменением u на малом (в масштабе T ) отрезке [0, T₀]. Если положение «пограничного слоя» заранее неизвестно, при численном интегрировании возникают осложнения, которые будут рассмотрены ниже. Основная идея заключается в том, чтобы численный метод обеспечивал качественно правильное поведение численного решения на участке «пограничного слоя» (при ), т. е. быстрое затухание, и возможно точнее воспроизводил решение на основном участке интегрирования (вне «пограничного слоя»).

1.1.2.Системы линейных однородных уравнений

Пусть на отрезке (2) рассматривается J уравнений (1):

j = 1, …, J (5)

с начальными условиями . Если обозначить

и перейти к векторной форме

, (6)

то, сделав замену , где

,

получим вместо (6) однородную линейную систему ОДУ:

. (7)

Так как , то .

Наоборот, если задана система (7), то умножая ее скалярно J раз на левые собственные векторы матрицы A, определяемые, как это следует из (7), с точностью до их длины, из J линейных однородных систем

или (8)

приходим к эквивалентной (7) совокупности уравнений (5), связанных друг с другом только через начальные условия

v(0) = v₀ или . (9)

Здесь — собственные значения матрицы A, т. е. корни характеристического уравнения

, (10)

где — многочлен степени J.

Решение каждого из уравнений (5) имеет вид (4), т. е. , а значит, решение задачи Коши (7), (9) есть , т. е. является линейной комбинацией экспонент (если все действительны) или имеет более сложный характер с присутствием гармонических составляющих (если среди будут комплексно-сопряженные корни уравнения (10)).