7 Погрешности косвенных измерений
В отличие от прямых измерений, когда значение измеряемой величины получают, непосредственно считывая показания со шкалы или отсчетного устройства прибора (измерение температуры термометром, измерение длины линейкой и т.п.), при косвенных измерениях измеряемую величину определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, получаемыми при прямых измерениях.
В
общем случае измеряемая величина Y
может
зависеть от величин
,
получаемых при прямых измерениях. Тогда
при косвенных измерениях эта искомая
физическая величина может быть
вычислена
по некоторой формуле 
.
Примеры
косвенных измерений: определение
плотности однородного тела по его массе
и объему
;
измерение мощности электрического тока
с помощью амперметра и вольтметра
.
7.1 Предварительные сведения из математики
Если
приращение функции
представить в виде:
,
где А не зависит от
,
а
имеет более высокий порядок относительно
,
то величина
называется
дифференциалом функции
и обозначается
или
.
Пример:
.
В
y
- дифференциал, а
.
Рисунок 8. Геометрический смысл дифференциала
Графически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной (рис. 8)
Свойства дифференциала.
1) постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала
,
где
.
2) дифференциал суммы равен сумме дифференциалов
.
3) дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента
.
4) Дифференциал логарифма переменной величины
.
7.2 Методики получения формул для вычисления погрешностей косвенных измерений по известным погрешностям прямых измерений
Получение
формул для вычисления погрешностей
косвенных измерений в случае зависимости
вида
(сумма,
разность)
Исходные данные: a, b, c, ∆a, ∆b, ∆c
Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.
1 Найдем дифференциал правой и левой части
.
2 Произведем широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы)
.
Тогда
.
3 Учитывая, что знаки погрешностей ∆a, ∆b, ∆c обычно бывают заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки абсолютной погрешности косвенного измерения в последней формуле все знаки "―" заменим на знаки "+":
.
4 Найдем предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения, учитывая, что относительная погрешность есть отношение абсолютной погрешности к результату измерений
.
Оценка предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из суммы квадратов.
5 Найдем среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения:
Получение
формул для вычисления погрешностей
косвенных измерений в случае зависимости
вида
(произведение, деление).
Исходные данные: a, b, c, Δa, Δb, Δc.
Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.
1 Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости
.
2 Найдем дифференциал правой и левой частей
.
3
Учитавая, что дифференциал от логарифма
переменной величины находится по формуле
,
получаем
.
4 Произведем широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы):
.
Тогда
.
5 Учитывая, что знаки погрешностей ∆a, ∆b, ∆c заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения в последней форму все знаки "-" заменяем на знаки "+":
.
6 Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле
.
Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из суммы квадратов.
7 Найдем среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения
,
.