3. Электростатика. Постоянный электрический ток и магнетизм

3.1. Формулы, которые можно использовать при решении задач

Закон Кулона (сила F взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ и Q₂):

,

где  – относительная диэлектрическая проницаемость среды; ₀ – электрическая постоянная; r – расстояние между зарядами.

Линейная  и поверхностная  плотности заряда:

,

.

Напряженность электрического поля:

а) через величину пробного заряда q, внесенного в электрическое поле,

,

где F – сила, действующая на пробный заряд;

б) созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него

;

в) образованного заряженной бесконечной нитью на расстоянии r от нее

,

где  – линейная плотность заряда на нити;

г) образованного заряженной бесконечной протяженной плоскостью

,

где  – поверхностная плотность заряда;

д) образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)

.

Связь между напряженностью электрического поля и электрической индукцией :

.

Теорема Гаусса (поток вектора напряженности N электрического поля через замкнутую поверхность S, охватывающую заряды Q_i):

.

Потенциал электрического поля

,

где W_n – потенциальная энергия пробного заряда q, внесенного в это поле.

Потенциал электрического поля, созданного точечным зарядом Q

.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) Е=0, (при r<R);

б) , (при r=R);

в) , (при r>R),

где Q – заряд сферы.

Напряженность и потенциал поля, создаваемые системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):

,

,

где , – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемые зарядом.

Связь между напряженностью Е и потенциалом  электрического поля:

или ;

в случае однородного поля (поля плоского конденсатора):

,

где u – разность потенциалов между пластинами.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами

,

,

где – единичный вектор, направленный из точки, где находится заряд dQ, в рассматриваемую точку поля.

Работа перемещения заряда q в электрическом поле:

.

Энергия взаимодействия W системы точечных зарядов Q₁ Q₂…Q_n:

,

где _i – потенциал поля, создаваемого всеми (n–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, в которой расположен заряд Q_i.

Электрический момент диполя

,

где – плечо диполя.

Электрическая емкость уединенного проводника и конденсатора:

,

,

где Q – заряд, сообщенный проводнику (пластине конденсатора);  – потенциал проводника; u – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электрическая емкость:

а) уединенной проводящей сферы радиуса R

;

б) плоского конденсатора

,

где S – площадь одной пластины; d – расстояние между пластинами.

Энергия заряженного проводника

,

где C – емкость проводника;  – потенциал проводника; _ = 0.

Энергия заряженного конденсатора

,

где u – разность потенциалов на пластинах конденсатора.

Емкость системы конденсаторов:

при параллельном соединении конденсаторов

,

при последовательном их соединении

.

Сила I и плотность j электрического тока:

,

,

где dQ – заряд, прошедший через конечное сечение проводника за время dt; dS – элемент площади поперечного сечения проводника.

Сопротивление R и проводимость G – проводника:

,

,

где  – удельное сопротивление; l – длина проводника;  – удельная проводимость; S – площадь поперечного сечения.

Сопротивление системы проводников:

а) – при последовательном соединении;

б) – при параллельном соединении,

где R_i – сопротивление i-го проводника.

Законы Ома:

а) – для участка цепи, не содержащего ЭДС, где ₁–₂ = u – разность потенциалов на концах участка цепи; R – сопротивление участка цепи;

б) – для участка цепи, не содержащего ЭДС, где  – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) – для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротивление цепи; R_i – внутреннее сопротивление цепи.

Законы Кирхгофа:

а) – первый закон;

б) – второй закон,

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков в замкнутом контуре; – алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре.

Закон Джоуля–Ленца (количества тепла Q, выделившегося на сопротивлении R за время dt при прохождении через него электрического тока):

.

Полная мощность, развиваемая источником

.

Полезная мощность P_R, выделяемая на внешнем сопротивлении R

.

КПД источника тока

.

Закон Био-Саварра-Лапласа:

,

где dВ – величина индукции в произвольной точке магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; ₀ – магнитная постоянная;  – магнитная проницаемость среды;  – угол между векторами и ; r – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника в рассматриваемую точку поля.

Индукция магнитного поля, создаваемого:

а) бесконечно длинным прямым проводником с током I

,

где r – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется напряженность;

б) отрезком проводника с током I

,

где r₀ – кратчайшее расстояние от оси проводника до рассматриваемой точки поля; ₁ и ₂ – углы между проведенными в данную точку радиус-векторами соответственно из начала и конца проводника и направлением тока;

в) кольцевым проводником радиуса R в его центре

;

г) кольцевым проводником радиусом R на расстоянии h от центра витка до точки, в которой определяется напряженность,

;

д) бесконечно длинным соленоидом

,

где N – число витков на длине соленоида l.

Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля:

,

где  – магнитная проницаемость среды; ₀ – магнитная постоянная.

Индукция и напряженность результирующего магнитного поля от сложения магнитных полей):

.

Магнитный момент элементарного контура с током:

,

где S – площадь контура; п – единичный вектор нормали к плоскости контура.

Сила, действующая на элемент тока в магнитном поле (Закон Ампера):

или ,

где  – угол между векторами и .

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

или ,

где  – угол между векторами и .

Закон полного тока для проводимости:

,

где L – произвольный замкнутый контур в магнитном поле.

Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле со скоростью (сила Лоренца);

, или ,

где  – угол между векторами V и В.

Магнитный поток через плоский контур (поток вектора магнитной индукции)

, или ,

где  – угол между вектором индукции магнитного поля и нормалью к плоскости контура S.

Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми N витками соленоида или тороида)

,

где L – коэффициент самоиндукции.

Работа силы Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле

,

где dФ – изменение магнитного потока через контур при его перемещении.

Основной закон электромагнитной индукции:

,

где Е – ЭДС индукции.

ЭДС самоиндукции

.

Индуктивность катушки (когда ее длина много больше диаметра)

,

где п – плотность намотки (количество витков на единицу длины); l – длина катушки; S – площадь сечения катушки.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) при замыкании цепи

,

где Е – ЭДС источника тока; t – время, прошедшее с момента замыкания цепи;

б) при размыкании цепи

,

где I₀ – сила тока в цепи при t=0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля

.

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

, или ,

где В – магнитная индукция; Н – напряженность магнитного поля.