2. Физические основы механики и молекулярной физики

2.1. Перечень формул, которые можно использовать при решении задач без вывода

Скорость материальной точки

,

где – радиус-вектор материальной точки.

Ускорение материальной точки

Нормальное ускорение материальной точки при движении по криволинейной траектории

,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Тангенциальное ускорение материальной точки при движении по криволинейной траектории

.

Угловая скорость вращательного движения

,

где d – угол поворота точки в радианах за время dt; R – радиус окружности; V – линейная скорость точки; п – число оборотов в единицу времени.

Линейная скорость точки при вращательном движении

,

где dS = Rd – длина дуги, пройденная точкой за время dt.

Угловое ускорение точки при неравномерном движении по окружности радиуса R

.

Второй Закон Ньютона для поступательного движения:

или ,

где – сумма сил, действующих на материальную точку; т – масса этой точки; – импульс материальной точки.

Импульс материальной точки

.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы материальных точек

или .

Силы, рассматриваемые в механике:

А. Сила упругости

F = – kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткость); х – абсолютная деформация.

Б. Сила тяжести

.

В. Сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)

,

где  – гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:

.

Первый закон Ньютона для замкнутой системы материальных точек:

.

Работа силы на элементарном пути

,

где  – угол между направлениями векторов и .

Работа силы при конечном перемещении от точки 1 до точки 2

.

Кинетическая энергия материальной точки.

или .

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где  – гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

,

где g – ускорение свободного падения; h – высота поднятия тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при h<<R_з, где R_з – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

,

где Е – полная энергия замкнутой консервативной системы взаимодействующих тел.

Момент силы относительно произвольной точки О

,

где – радиус-вектор, направленный от точки О к точке приложения силы и лежащий в плоскости действия силы;

,

где  – угол между направлениями векторов и ; d – плечо силы – кратчайшее расстояние между точкой О и линией, вдоль которой действует сила.

Момент импульса материальной точки относительно произ-вольной точки О

, ,

где – радиус-вектор от точки О к материальной точке по перпендикуляру, опущенному из рассматриваемой точки на ось; – импульс материальной точки;  – угол между векторами и .

Момент инерции материальной точки с массой т относительно оси

,

где r – расстояние от точки до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой т относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

;

г) шара радиусом R – относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара,

.

Теорема Штейнера:

,

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси; I_c – момент инерции тела относительно оси, параллельной произвольной и проходящей через центр масс тела; b – расстояние между осями; М – масса тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

,

где М_z – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;  – угловое ускорение; I_z – момент инерции относительно оси вращения.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непо-движной оси:

.

Закон сохранения момента импульса:

.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

,

где х – смещение; А – амплитуда;  – циклическая частота;  – начальная фаза колебания.

Связь периода колебаний маятника с частотой :

.

Периоды колебаний:

а) физического маятника

,

где L – приведенная длина физического маятника; I – момент инерции физического маятника относительно оси качения; d – расстояние от оси до центра тяжести тела;

б) математического маятника

,

где l – длина математического маятника;

в) пружинного маятника

,

где т – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания

.

Закон Гука для упругой деформации:

или ,

где F – действующая сила; k – коэффициент жесткости (упругости) тела; х – смещение (абсолютная деформация);  – напряжение;  – относительная деформация; Е – модуль Юнга.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

.

Количество вещества

,

где N – число молекул вещества; N_A – число Авогадро; т – масса вещества;  – молярная масса вещества.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

или ,

где р – давление газа; п₀ – концентрация молекул газа (число молекул в единице объема); k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; <_n> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

.

Средняя энергия молекулы идеального газа

,

где i – число степеней свободы молекулы.

Скорости молекул:

а) средняя квадратичная

;

б) средняя арифметическая

;

в) наиболее вероятная

,

где т₀ – масса одной молекулы; R – универсальная газовая постоянная;  – молярная масса газа.

Внутренняя энергия идеального газа

.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа):

,

где т – масса газа; R – универсальная газовая постоянная;  – молярная масса газа; T – термодинамическая температура; V – объем газа; p – давление газа.

Закон Дальтона (давление р смеси газов):

,

где p_i – парциальные давления составляющих смесь газов.

Теплоемкость тела при данном процессе

,

где с_ – молярная теплоемкость тела при данном процессе; с_уд – удельная теплоемкость тела при данном процессе.

Количество теплоты, сообщенное телу при данном процессе

.

Уравнение Майера:

.

Молярные теплоемкости идеального газа при данных процессах

и .

Средняя длина свободного пробега молекул

,

где d – эффективный диаметр молекул газа.

Среднее число столкновений

.

Первое начало термодинамики:

а) в дифференциальной форме

,

где Q – количество тепла, сообщенное системе; dU – изменение внутренней энергии системы; A – работа, совершенная системой против внешних сил;

б) в интегральной форме:

Q=U+A.

Элементарная работа, совершенная газом против внешних сил

dA=pdV.

Работа, совершенная газом против внешних сил при переходе из состояния 1 в состояние 2

.

Уравнение адиабатического процесса:

,

где  – показатель адиабаты.

Термический коэффициент полезного действия цикла

,

где Q₁ – количество тепла, полученное системой от нагревателя; Q₂ – количество тепла, отданное системой холодильнику; А – работа, совершенная системой за один полный цикл.

Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

,

где Т₁ и Т₂ – соответственно абсолютные температуры нагревателя и холодильника.