2.2. Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид x = A + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 2 м/с, С = –0,5 м/с³. Найти координату х, скорость V и ускорение а точки в момент времени t = 2 с.

Дано:

Х = А + Bt + Ct³

А = 2 м

В = 1 м

С = 1 м/с³

Х = ?

Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2 + 12 – 0,52³) = 0 м.

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t = 2 c

Ответ. Координата х = 0; мгновенная скорость V = –5 м/с ускорение точки а = –6 м/с².

П

Дано:

φ = А + Bt + Ct²

А = 10 рад

В = 20 рад/с

С = –2 рад/с²

r = 0,1м

t = 4 c

а = ?

ример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = А + Bt + Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения для момента времени t = 4 с.

Решение. Полное ускорение а может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений:

.

Нормальное ускорение может быть представлено в виде

,

где ω – угловая скорость

;

r – радиус окружности по которой движется точка.

Тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле

,

где ε – угловое ускорение.

.

Учитывая, что нормальное ускорение перпендикулярно тангенциальному, можно записать, что

.

Подставляя выражения для  = B + 2Ct и  = 2C в формулы нормального и тангенциального ускорений, получим

, .

Тогда полное ускорение

.

В момент времени t = 4 c полное ускорение

.

Ответ. Полное ускорение точки в момент времени t = 4 с а = 1,65 м/с².

Пример 3. Шар массой т₁ = 0,5 кг, движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массой т₂ = 200 г (рис. 2.1). Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано:

т₁ = 0,5 кг

т₂ = 200 г = 0,2 кг

 = ?

Рис. 2.1

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

, (2.1)

где – кинетическая энергия первого шара до удара; U₂ и – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (2.1), для определения  надо найти U₂. Согласно условию задачи, сумма импульсов системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется, и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем

, (2.2)

. (2.3)

Решая совместно уравнения (2.2) и (2.3), найдем

.

Подставив выражение U₂ в формулу (2.1) и сократив на V₁ и m₁, получим

. (2.4)

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Проверим размерность:

.

Подставим в (2.4) числовые значения и произведем вычисления:

.

Ответ. Первый шар передал второму шару 0,8 своей первоначальной энергии.

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г (рис. 2.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой пренебречь.

Дано:

m₁ = 100 г = 0,1 кг

m₂ = 200 г = 0,2 кг

g = 9,8 м/с²

а – ?

Рис. 2.2

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось x вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось:

для первого груза

; (2.5)

для второго груза

. (2.6)

Под действием моментов сил Т₁^/ и T₂^/ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

, (2.7)

где – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z, проходящей через середину диска перпендикулярно плоскости чертежа;  = a/r.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити, Т₁^/ = Т₁, T₂^/ = Т₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (2.7) вместо Т₁^/ и T₂^/ выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (2.5) и (2.6):

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

. (2.8)

Проверим размерность:

.

После подстановки числовых значений в формулу (2.8) получим

.

Ответ. Грузы будут двигаться с ускорением 2,88 м/с².

Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до часты вращения n₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе (рис. 2.3). Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент сил трения.

Дано:

R = 0,2 м

m = 50 кг

n₁ = 480 мин^-1 = 8 с^-1

t = 50 с

М – ?

Рис. 2.3

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным урав-нением динамики вращательного движения в виде

, (2.9)

где dL_z – изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt; M_z – результирующий момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси z.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M_z = const), поэтому интегрирование уравнения (2.9) приводит к выражению

. (2.10)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса

, (2.11)

где J_z – момент инерции маховика относительно оси z;  – изменение угловой скорости маховика.

Приравнивая правые части равенств (2.10) и (2.11), получим

,

откуда

. (2.12)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

.

Изменение угловой скорости  = ₂ – ₁ выразим через конечную n₂ и начальную n₁ частоты вращения, пользуясь соотношением  = 2n:

.

Подставив в формулу (2.12) выражения для  и I_z, получим

. (2.13)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу измерения момента силы (Нм). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

.

Подставим в формулу (2.13) числовые значения величин и произведем вычисления:

.

Знак «минус» показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Ответ. Момент сил трения равен М = –1 Нм.

Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m₁ = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость V относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Человека рассматривать как материальную точку.

Дано:

R = 1,5 м

m₁ = 180 кг

n = 10 мин = 1/6 с^-1

m₂ = 60 кг

V – ?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция момента импульса системы «платформа – человек» остается постоянной:

, (2.14)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z;  – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z = J₁ + J₂, а в конечном состоянии J_z^/ = J₁^/ + J₂^/. С учетом этого равенство (2.14) примет вид

, (2.15)

где J₁ и J₂ – значения моментов инерции платформы и человека, соответственно относящиеся к начальному состоянию системы; J₁^/ и J₂^/ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси при переходе человека не изменяется: J₁ = J₁^/ = m₁R²/2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J₂ = m₂R².

Подставим в формулу (2.15) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ( = 2n) и конечной угловой скорости (^/ = V/R, где V – скорость человека относительно пола):

.

После сокращения на R² и простых преобразований находим

.

Проверим единицы измерения:

.

Произведем вычисления:

.

Ответ. При переходе человека на край платформы его скорость относительно пола помещения равна 1 м/с.

Пример 7. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном положении. При какой минимальной скорости V₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R = 6,3710⁶м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и земли, пренебречь.

Дано:

R = 6,3710⁶ м

g = 9,81 м/с²

V₁ – ?

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты меняться не будет, следовательно,

, (2.16)

где Е_к1, Е_п1 и Е_к2, Е_п2 – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и в конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,

.

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Е_к2 станет равной нулю, а потенциальная – достигнет максимального значения:

.

Подставляя выражения Е_к1, Е_п1, Е_к2, и Е_п2 в уравнение (2.16), получаем

,

откуда

.

Заметив, что (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

,

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

Сделаем проверку размерности:

.

Произведем вычисления:

.

Ответ. При скорости 7,9 км/с ракета удаляется от Земли на расстояние, равное радиусу Земли.

Пример 8. Сплошной однородный диск колеблется вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через край диска (рис. 2.4). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна 0,15 м.

Дано:

L = 0,15 м

R – ?

Рис. 2.4

Решение. Приведенная длина физического маятника

,

где J – момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.

По теореме Штейнера

,

где J₀ – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр массы. Для диска

.

Итак,

.

Отсюда находим

.

Делаем расчет:

.

Ответ. Радиус диска должен быть 0,10 м.

Пример 7. Верхний конец стержня закреплен неподвижно, к нижнему концу подвешен груз массой m = 2000 кг (рис. 2.5). Длина стержня l₀ = 5 м, сечение S = 4 см². Определить механическое напряжение  материала стержня, абсолютное l и относительное  его удлинения и потенциальную энергию Е_п растянутого стержня.

Дано:

т = 2000 кг = 210³ кг

l₀ = 5 м

S = 4 см² = 410^-4 м²

Е = 210¹¹ Н/м²

 – ? l – ?  – ? Е_п – ?

Рис. 2.5

Решение. Нормальное напряжение материала растянутого стержня найдем по формуле

, (2.17)

где F – сила, действующая вдоль оси стержня.

В нашем случае сила F равна весу груза P = mg, поэтому формула (2.17) примет вид

. (2.18)

Для нахождения относительного удлинения воспользуемся за-коном Гука:

, (2.19)

где Е – модуль Юнга.

Тогда из формулы (2.19) получим

. (2.20)

Используя определения относительного удлинения, найдем абсолютное удлинение:

. (2.21)

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

. (2.22)

Произведем проверку единиц измерения:

;

;

;

.

Делаем расчет, используя уравнения (2.18, 2.20–2.22):

;

;

;

.

Ответ. Нормальное напряжение стержня  = 4,910⁷ Н/м² при абсолютной деформации l = 1,2310⁸ м. Относительное удлинение  = 2,4510^-4 и потенциальная энергия Е_п = 12,1 Дж.