5.2. Примеры решения задач

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 5.1), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого на расстоянии r₂ = 12 см.

Дано:

I₁ =I₂ = I = 60 А

d = 10 cм = 0,1 м

r₁ = 5 см = 510^-2 м

r₂ = 12 см = 0,12 м

₀ = 4П10^-7 Гн/м

= ?

Рис. 5.1

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций и полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически: Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов:

, (5.1)

где  – угол между векторами и .

Магнитные индукции и магнитного поля, создаваемого прямым током, определяются по формулам

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (5.1) и вынося за знак корня, получаем

(5.2)

Проверим единицу измерения:

Сначала вычислим cos . По теореме косинусов запишем

где d – расстояние между проводами.

Отсюда

Подставим в формулу (5.2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Ответ. Магнитная индукция В, создаваемая проводниками с током в точке А, равна 3,0810^-4 Тл.

Пример 2. По двум прямым параллельным проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 А. Вычислить силу взаимодей-с

Рис. 5.2

твия токов.

Дано:

l₁ = l₂ = l = 2,5 м

d = 20 см = 0,2 м

I = 1 кА = 10³ А

F = ?

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, действующее на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 5.2) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индукции В₁ определяется соотношением

. (5.3)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ с длиной dl действует в магнитном поле сила

,

где  – угол между векторами и . Так как вектор перпен-дикулярен вектору , то sin = 1, и тогда

.

Подставив в это выражение В₁ согласно соотношению (5.3), получим

.

Направление силы определяется правилом левой руки.

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

.

Заметив, что I₁ = I₂ = I, получим

.

Проверим единицы измерения

Выполним расчет:

.

Ответ. Сила взаимодействия токов равна F = 2,5 Н.

Пример 3. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Дано:

U = 600 В

e = 1,610^-19 Кл

m = 1,6710^-37 кг

В = 0,3 Тл

R – ?

Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение .

Согласно второму закону Ньютона,

(5.4)

где m – масса протона.

На рис. 5.3 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Перепишем выражение (5.4) в скалярной форме (в проекции на радиус):

F_л = ma_n. (5.5)

В скалярной форме F_л = evBsin. В нашем случае и sin = 1, тогда F_л= evB. Так как нормальное ускорение то выражение (5.5) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выражение можно записать в виде

(5.6)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ΔW_k или e(₁ – ₂) = W_k2 – W_k1, где ₁ – ₂ – ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); W_k2 и W_k1 – конечная и начальная кинетические энергии протона. Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W_k1 и выразив кинетическую энергию W_k2 через импульс р, получим

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (5.6):

или

(5.7)

Сделаем проверку единиц измерения:

Выполним расчет:

Ответ. Радиус окружности, по которой движется протон, равен R = 1,1810^-2 м.

П

Рис. 5.4

ример 4. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В₁ = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол: 1) ₁ = 90^о; 2) ₂ = 3^о. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:

а = 10 см = 0,1 м

I = 100 A = const

B = 1 Тл

₁ = 90^о

₂ = 3^о = 0,0523

А₁ = ? А₂ = ?

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 5.4)

, (5.8)

где p_m = IS = Ia² – магнитный момент контура; В – магнитная индукция;  – угол между векторами р_т (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит,  = 0, то есть векторы р_т и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Md. Учитывая формулу (5.8), получим

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол

. (5.9)

Работа при повороте на угол ₁=90^о определяется по формуле

. (5.10)

Работа при повороте на угол ₂ = 3^о. В этом случае, учитывая, что угол ₂ мал, заменим в выражении (5.9) sin   :

. (5.11)

Сделаем проверку единиц измерения:

.

Выполним расчет:

;

.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

,

где Ф₁ – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ – то же после перемещения.

Если ₁ = 90^о, то Ф₁ = BS, Ф₂ = 0. Следовательно,

,

что совпадает с уравнением (5.10).

Ответ. Работа, совершаемая внешними силами, по повороту рамки на угол 90^о равна 1 Дж, а на 3^о – 1,3710^-3 Дж.

Пример 5. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой п = 10 с^-1 вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу  поворота рамки, равному 30^о.

Дано:

В = 0,1 Тл

п = 10 с^-1

 = 30^о

N = 1000

S = 150 см² = 0,015 м²

Е = ?

Рис. 5.5

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции Е определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла:

, (5.12)

где  – потокосцепление.

Потокосцепление  связано с магнитным потоком  и числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением

. (5.13)

Подставляя выражение  в формулу (5.12), получаем

. (5.14)

При вращении рамки (рис. 5.5) магнитный поток , пронизывающий рамку в момент времени t, определяется соотношением

,

где В – магнитная индукция; S – площадь рамки;  – круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (5.13) выражение  и продифференцировав полученное выражение по времени, найдем мгновенное зна-чение ЭДС индукции:

. (5.15)

Круговая частота  связана с частотой вращения п соотноше-нием

.

Подставив выражение  в формулу (5.14) и заменив t на , получим

.

Проверим единицы измерения:

Выполним расчет:

.

Ответ. Мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки 30^о, равно Е = 47,1 В.

Пример 6. Соленоид, сопротивление которого R = 2 Ом, подключается к аккумулятору с ЭДС Е = 8 В. Спустя время t = 0,01 с сила тока в цепи достигает значения I = 1 А. Определить коэффициент самоиндукции соленоида, если сопротивление аккумулятора ничтожно мало.

Дано:

R = 2 Ом

Е = 8 В

t = 0,01 с

I = 1 А

R_i = 0

L = ?

Рис. 5.6

Решение. Зависимость силы тока от времени в цепи (рис. 5.6), прошедшего с момента замыкания соленоида, определяется соотношением

, (5.16)

где I₀ – сила тока, устанавливающаяся после затухания индукционных явлений (определяется по закону Ома для полной цепи):

. (5.17)

Из уравнений (5.16) и (5.17) находим

.

Проверим единицу измерения:

.

Выполним расчет:

.

Ответ. Индуктивность соленоида равна L = 0,07 Гн.

Пример 7. Соленоид с сердечником из немагнитного материала (рис. 5.7) содержит N = 1 200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток  = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Дано:

N = 1200

I = 4 A

 = 6 мкВб = 610^-6 Вб

L = ? W = ?

Рис. 5.7

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением  и силой тока I соотношением

. (5.18)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток  и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

. (5.19)

Из формул (5.18) и (5.19) находим индуктивность соленоида:

. (5.20)

Энергия магнитного поля соленоида

.

Выразив L согласно (5.20), получим

. (5.21)

Проверим единицы измерения:

;

.

Подставив в формулы (5.20) и (5.21) значения физических величин, произведем вычисления:

.

Ответ. Индуктивность соленоида равна 1,810^-3 Гн; энергия магнитного поля в нем равна 1,4410^-2 Дж.