5. Нумерация вычислимых функций

Определение 5.1. Пусть f – n-местная функция, вычислимая по программе P с геделевым номером m = (P). Число m будем называть индексом функции f. Вычислимую функцию от n переменных с индексом m будем обозначать символом .

Из определения 5.1 следует, что каждая n-местная вычислимая функция f представлена в перечислении

Ниже мы в основном будем рассматривать одноместные вычислимые функции . Для простоты в их обозначении верхний индекс будем опускать.

Упражнение

5.1. Докажите, что у каждой вычислимой функции имеется бесконечно много индексов.

Приступим теперь к доказательству теоремы о существовании невычислимых функций. Идея доказательства этой теоремы столь же важна, как и результат.

Теорема 5.1. Существует невычислимая всюду определенная функция.

Доказательство. Пусть - некоторое перечисление всех вычислимых функций:

Положим

Функция g отличается от любой вычислимой функции в точке n. Действительно, если функция определена в точке n, то . Если не определена в точке n, то g отличается от тем, что значение g(n) определено. Таким образом, и, следовательно, g - невычислимая всюду определенная функция.

Метод построения функции в теореме 5.1 является примером диагональной конструкции, открытой Кантором. Лежащая в его основе идея является центральной в доказательстве большинства результатов, связанных с вычислимостью функций, и применима к огромному числу ситуаций, возникающих в различных разделах математики.

Поясним, почему для примененного в теореме 5.1 метода выбран термин диагональный. Для этого проиллюстрируем метод построения функции g с помощью следующей бесконечной таблицы:

	0	1	2	3	...
					...
					...
					...
					...
...	...	...	...	...	...

Рис. 5.1. Диагональная конструкция

При построении функции g для определения значений в точках n выбирались диагональные элементы таблицы . Выбранные значения изменялись так, чтобы обеспечить отличие g(n) от .

Очевидно, что новые значения функции можно выбирать сравнительно свободно. Например, функция

является другой невычислимой всюду определенной функцией.

Проиллюстрируем диагональную конструкцию на примере из теории множеств.

Пример 5.1. Докажем, что множество всех подмножеств множества нельзя перечислить (перенумеровать).

От противного, пусть - перечисление всех подмножеств множества . Определим новое подмножество B множества следующим образом:

.

Очевидно, , что противоречит предположению. Поэтому множество всех подмножеств множества нельзя перечислить.

Из доказанного вытекает, что множество всех подмножеств множества несчетно.