1. Так как , то , каково бы ни было по своей природе событие а.

2. Если а - событие невозможное, то .

3. Если в- событие достоверное, то .

Некоторые задачи можно решать значительно проще с использованием простейших теорем теории вероятностей.

Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначается: С=А+В.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, то есть

Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и равна 1.

Пример. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0.12, 45-го - 0.04, 46-го или большего - 0.01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А), или 45-го (событие В), или не менее 46-го (событие С), то есть событие D есть сумма событий А, В, С. События А, В, С несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

.

Пример. Сохраняя начальные условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» - противоположные. Поэтому вероятность искомого события , поскольку .

Произведением или пересечением событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то есть в наступлении и события А, и события В. Обозначается: С=АВ.

Вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью события В. Обозначается: P(B/A) или P_A(В).

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий, то есть вероятность совместного наступления событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, то есть

или .

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть .

Пример. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.

Решение. Искомое событие D произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая - с цифрой 2 (событие В), третья - с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по теореме умножения вероятностей для трех независимых событий:

.

Теорема сложения вероятностей для случая, когда события совместны.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, минус вероятность их совместного появления, то есть

.

Пример. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадания хотя бы одного герба?

Решение. Событие А - «появление герба при подбрасывании первой монеты», событие В - «появление герба при подбрасывании второй монеты». Так как А и В - совместные события, то

.

Некоторые задачи можно решать особым приемом, который приводит к формуле полной вероятности (объединение теорем сложения и умножения):

вероятность события А, которое может произойти при осуществлении одного из несовместных событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n , образующих полную группу, определяется формулой

Замечание. События В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n называются гипотезами.

Пример. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 игранных. Для игры наудачу выбирается два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча, Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Событие А - «для второй игры взято два новых мяча».Для решения, исходя из условия, удобно задать три гипотезы:

В₁ - «для первой игры взято два новых мяча»;

В₂ - «для игры взяты новый и игранный мяч»;

В₃ - «для первой игры взято два игранных мяча». Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (для подсчеты числа событий используются формулы комбинаторики - см. [3, 8]):

; ; .

Проверка: .

В результате осуществления гипотезы В₁ в ящике останется 6 новых и 4 игранных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы В₂ в ящике останется 7 новых из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом:

.

Замечание. В одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности вычислялись проще.

При решении практических задач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из несовместных событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n, которые образуют полную группу, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n применяются формулы Бейеса (Bayes):

Пример. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. «Отличники» могут ответить на все вопросы, «хорошисты» - на 16 вопросов, неподготовившиеся - на 5 вопросов, остальные - на 10 вопросов. Каждый студент получает 3 вопроса из 20. Первый отвечающий ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность, что он отличник?

Решение.

Событие А - «студент ответил на 3 вопроса»;

событие В₁ - «отвечал отличник»;

событие В₂ - «отвечал хорошист»;

событие В₃ - «отвечал слабо подготовленный студент».

событие В₄ - «отвечал неподготовленный студент»;

Из условия задачи имеем:

P(B₁)=0.3; P(B₂)=0.4; P(B₃)=0.2; P(B₄)=0.1.

Кроме этого:

; ; ; .

 по формуле Бейеса получаем

Как видно, искомая вероятность сравнительно не велика. Поэтому преподавателю скорей всего придется предложить студенту еще несколько дополнительных вопросов.

Замечание. Формулы Бейеса находят широкое применение в математической статистике.

Различные события, например, такие как: произведенная в некоторых постоянных технологических условиях деталь окажется стандартной, за время t произойдет распад атома радиоактивного вещества, при опускании монеты денежный автомат сработает правильно и многие другие, - можно описать одной схемой, которая называется схемой Бернулли. Пусть производится n последовательных независимых испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два -«успех» и «неуспех». Более того, вероятность «успеха» в каждом из испытаний неизменна и равна p, то есть вероятность «неуспеха» также неизменна и равна g=1-p. В этом случае вероятность того, что в n последовательных «испытаниях Бернулли» произойдет ровно k «успехов», равна

, где (см.[3,8]).

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, в этих случаях используют либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа), либо формулу Пуассона.

Пример. Вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросаниях монеты вычислим по формуле Лапласа:

,

где и .

Функция - четная: . Таблица, позволяющая вычислять значения функции , имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей.

Решение. Имеем:

n=100, k=50, p=0.5, g=0.5

 k-np=0,

 .

Пример. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.

Решение. Для решении подобных задач применяют интегральную теорему Лапласа: вероятность появления события в n испытаниях от k₁ до k₂ раз вычисляется по следующей формуле

,

где функция вычисляется с помощью таблиц. Функция - нечетная: . При x>5 считают =0.5

Имеем:

n=100, k₁=47, k₂=57 p=0.5, g=0.5.

 .

При небольших значениях вероятности p (меньших 0.1) и больших n более точный результат дает формула Пуассона

, где ,

 называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает «закон редких, но массовых явлений».