10. Исследование функций.

Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых , , верно неравенство .

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка , то она возрастает на этом промежутке.

Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Для того чтобы дифференцируемая функция имела в точке экстремум, необходимо, чтобы и достаточно, чтобы при переходе через точку происходила смена знака первой производной.

Пример 10.1. Найти экстремумы функции .

Решение.

1. Дифференцируя данную функцию, находим .

2. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции , . Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет – определена на всей числовой оси.

3. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знак производной на каждом интервале.

	+	–	+
	-2	2

Согласно достаточному условию точка является точкой максимума, точка – точкой минимума.

4. Находим , .

График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции на этом интервале.

Достаточное условие существования точки перегиба. Пусть график функции определяется уравнением . Если или не существует, и при переходе через значение вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Пример 10.2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции

Решение.

1. Дифференцируя данную функцию дважды, находим , .

2. Приравнивая вторую производную к нулю, и находим точки, в которых вторая производная равна нулю , .

3. Нанесем точки на числовую прямую и определим знак второй производной на каждом интервале.

	+	–	+
	-1	1

4. Функция выпукла вниз на интервалах , , вверх – . Точки , являются точками перегиба.

Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат вдоль графика.

Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:

1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции (слева) или при (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

3. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. 10.3. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решение. Точка – точка разрыва II рода. Так как , , то прямая является вертикальной асимптотой.

Пример 10.4. Найти горизонтальные асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая является горизонтальной асимптотой.

Пример 10.5. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Так как ,

, то прямая является наклонной асимптотой.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Пример 10.6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Функция общего вида, так как .

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точке . Так как , , то прямая является вертикальной асимптотой.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим: . Функция горизонтальных асимптот не имеет.

Так как ,

, то прямая является наклонной асимптотой.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции. Дифференцируя данную функцию, находим . Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции . В точке производная не существует. Определим знак производной на каждом интервале.

	–	+	–
	-1	0

Функция возрастает на интервале , убывает – , . Точка является точкой минимума .

6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка . Приравнивая вторую производную к нулю, и находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.

	+	+
	0

Функция выпукла вниз на интервалах , . Точек перегиба нет.

7. Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.

				4
				3
				2
				1
-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
				-1
				-2
				-3