5. Элементы аналитической геометрии.

Уравнение линии (или кривой) на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты и каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение линии позволяет изучить ее геометрические свойства с помощью исследования ее уравнения. Простейшим из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение первой степени относительно и вида называется общим уравнением прямой на плоскости, где , и – произвольные числа, причем и не равны нулю одновременно.

Если в общем уравнении прямой , то, разрешив его относительно , получим уравнение вида , где , . Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом, поскольку , – угол, образованный прямой с положительным направлением оси . Свободный член уравнения равен ординате точки пересечения прямой с осью .

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку записывается в виде .

Если известны координаты точек и , то уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид .

Пример 5.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Воспользуемся уравнением : или , откуда .

Острый угол между двумя прямыми и определяется по формуле .

Если прямые и параллельны, то условие параллельности имеет вид . Если прямые перпендикулярны, то условие перпендикулярности имеет вид .

Пример 5.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен . Искомая прямая параллельна данной, поэтому ее угловой коэффициент равен .

Используя уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, получим уравнение искомой прямой: или , откуда .

Пример 5.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен . Искомая прямая перпендикулярна данной, поэтому ее угловой коэффициент равен .

Используя уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, получим уравнение искомой прямой: или , откуда .

Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую. Расстояние от точки до прямой находится по формуле .

Пример 5.4. Даны координаты точек , , . Найти:

1. уравнения сторон треугольника ;

2. уравнение медианы, опущенной из вершины ;

3. длину и уравнение высоты, опущенной из вершины .

Решение.

1. Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой .

Найдем уравнение стороны : , , , , . Найдем уравнение стороны : , , , . Найдем уравнение стороны : , , , , .

2. Пусть точка середина стороны , тогда координаты точки равны , . Уравнение медианы определим по формуле . Найдем уравнение медианы : , откуда .

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Разрешив уравнение прямой относительно , получим . Угловой коэффициент прямой равен . Искомая прямая перпендикулярна прямой , поэтому ее угловой коэффициент равен .

Используя уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, получим уравнение искомой прямой: , откуда .

Расстояние от точки до прямой равно .

Уравнение плоскости, записанное в виде , называется общим уравнением плоскости, где , , , – произвольные числа, причем , и не равны нулю одновременно, причем .

Три точки пространства , , , не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть даны уравнения двух плоскостей и .

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных , а условием их перпендикулярности .

Острый угол между плоскостями определяется по формуле .

Пример 5.5. Найти острый угол между плоскостями и .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как , то угол между плоскостями и равен .

Пример 5.6. Даны координаты вершин треугольной пирамиды : , , , . Требуется найти: длину ребра ; уравнение плоскости ; площадь грани ; объем пирамиды.

Решение. Так как , то длина ребра равна .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки , , : . Уравнение плоскости имеет вид .

Определим площадь грани . Координаты векторов равны , , векторное произведение равно . Площадь грани равна кв. ед.

Объем треугольной пирамиды равен куб. ед.