4. Элементы векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой .

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, т.е. , .

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор и обозначается .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора, рис. 4.1а. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и , рис. 4.1б. Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма, рис. 4.1в.

Вычитание векторов. Пусть и – два произвольных вектора, рис. 4.2а. Возьмем произвольную точку и построим вектор и . Вектор , соединяющий конец второго вектора с концом первого, называется разностью векторов и (рис. 4.2б).

Умножение вектора на число. Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор (или ), имеющий длину , коллинеарный вектору и направленный в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную сторону, если .

Пример 4.1. Даны три вектора , , . Найти координаты вектора .

Решение. Так как при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, то , . При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, следовательно, .

Зная координаты вектора можно определить его длину. Длина вектора вычисляется по формуле .

Пример 4.2. Даны точки и . Найти длину вектора .

Решение. Найдем координаты вектора : . Длина вектора равна .

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. .

Пример 4.3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

Решение. Так как , , , то скалярное произведение векторов и равно .

Скалярное произведение векторов можно выразить через координаты векторов и : , тогда угол между векторами и определяется по формуле .

Пример 4.4. Найти скалярное произведение векторов и , и угол между ними, если , .

Решение. Скалярное произведение векторов и равно .

Длина вектора равна , длина вектора – . Косинус угла между векторами и равен , откуда .

Векторы , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой, рис. 4.3.

Векторным произведением вектора на вектор называют такой вектор , который определяется тремя условиями:

1. длина вектора равна где угол между векторами и ;

2. вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение на обозначается .

Если векторы и заданы своими координатами в декартовой системе координат: , , то векторное произведение можно найти с помощью разложения определителя: .

Пример 4.5. Найти векторное произведение векторов и , если , .

Решение. Векторное произведение векторов и равно или .

Согласно определению векторного произведения векторов и , тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна модулю векторного произведения этих векторов, т.е. , а площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. .

Пример. 4.6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

Решение. Векторное произведение векторов и равно или . Площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна кв. ед.

Смешанными произведением векторов трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Если векторы , и заданы своими координатами в декартовой системе координат: , , , то смешанное произведение можно найти по формуле: .

Пример 4.7. Найти смешанное произведение , если , , .

Решение. Смешанное произведение векторов равно .

Смешанное произведение трех векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку, т.е. . Объем тетраэдра, построенного на этих же векторах, равен .

Пример 4.8. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках , , , .

Решение. Найдем координаты векторов , , : , , . Искомый объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Таким образом, куб. ед.