20. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнение
вида
называется линейным однородным
дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами,
где
и
некоторые действительные числа.
Для
нахождения общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения
необходимо составить характеристическое
уравнение
.
При решении характеристического
уравнения
возможны три случая:
,
,
.
Рассмотрим эти случаи.
1. Если
,
то характеристическое уравнение имеет
два различных корня
и
,
тогда общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
.
2. Если
,
то характеристическое уравнение имеет
один корень
(кратности 2), тогда общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
.
3. Если
,
то характеристическое уравнение имеет
два комплексных корня
,
тогда общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
.
Пример
20.1. Найти
общее решение дифференциальных уравнений
а) 
;
б) 
.
Решение.
а) Составим
характеристическое уравнение
.
Решая соответствующее уравнение, находим
,
.
Общее решение однородного дифференциального
уравнения второго порядка имеет вид
.
б) Составим
характеристическое уравнение
.
Решая соответствующее уравнение, находим
.
Общее решение однородного дифференциального
уравнения второго порядка имеет вид
.
Уравнение
вида
называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением 2-го порядка,
где
и
– некоторые действительные числа,
– некоторая заданная функция.
Общее
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения 2-го порядка
равно сумме частного решения
неоднородного уравнения и общего решения
соответствующего ему однородного
уравнения, т.е.
.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Пусть
правая часть уравнения
является многочленом степени
,
т.е. имеет вид
,
где
,
,
…,
– действительные числа и
.
Тогда частное решение следует искать
в виде
,
где
,
если
,
,
если
и
,
,
если
.
Пример
20.2. Найти
общее решение уравнения
.
Решение.
Найдем общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
.
Составим
характеристическое уравнение:
.
Корни
,
являются корнями характеристического
уравнения. Так как
,
то общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
имеет вид
.
Частное
решение будем искать в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя выражения
,
в уравнение
,
приходим к равенству
,
откуда
,
.
Частное решение будет иметь вид
.
Общее
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
.
2. Пусть
правая часть уравнения
имеет вид
,
где
,
– действительные числа. Тогда частное
решение следует искать в виде
,
где показатель степени
равен кратности значения
как корня характеристического многочлена.
Пример
20.3. Найти
общее решение уравнения
.
Решение.
Найдем общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
.
Составим
характеристическое уравнение:
.
Корни
,
являются корнями характеристического
уравнения. Так как
,
то общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
имеет вид
.
Частное
решение будем искать в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя выражения
,
,
в уравнение
,
приходим к равенству
,
,
откуда
.
Частное решение будет иметь вид
.
Общее
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
.
3. Пусть
правая часть уравнения
имеет вид
,
где
,
,
– действительные числа и
.
Тогда частное решение следует искать
в виде
,
где
,
если одновременно выполнены условия
,
,
и
в остальных случаях.
Пример
20.4. Найти
общее решение уравнения
.
Решение.
Найдем общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
.
Составим
характеристическое уравнение:
.
Корни
,
являются корнями характеристического
уравнения. Так как
,
то общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
имеет вид
.
Частное
решение будем искать в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя выражения
,
,
в уравнение
,
приходим к равенству
.
Из системы
найдем
и
:
,
,
,
.
Частное решение будет иметь вид
.
Общее
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
.