18. Ряд Маклорена.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

, ,

, ,

, ,

, ,

,

.

Пример 18.1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то заменяя на , получим

. Область сходимости ряда .

19. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные (или дифференциалы) этой функции.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде , где – некоторая функция от переменных, , при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных , , …, .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных , , …, .

Дифференциальное уравнений называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от .

1. Рассмотрим решение уравнения . Учитывая, что , то перепишем уравнение в виде , откуда его решение .

2. Рассмотрим решение уравнения . Обе части уравнения разделим , учитывая, что , получим , откуда его решение .

Пример 19.1. Решить дифференциальные уравнения а)  , б)  .

Решение.

а) Дифференциальное уравнение является неполным дифференциальным уравнением первого порядка. Учитывая, что , тогда . Проинтегрировав обе части уравнения , получим общее решение .

б) Разделив обе части уравнения на , получим или . Проинтегрировав обе части уравнения , получим .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнение с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде , где и – непрерывные функции.

Для решения данного уравнения преобразуем его к виду, в котором дифференциал функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменная – в другой, т.е. . Проинтегрировав обе части уравнения, получим его решение .

Пример 19.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделив обе части уравнения на , приходим к равенству или . Проинтегрировав обе части уравнения , получим или .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид , где и – непрерывные функции.

Решение данного уравнения будем искать в виде , где , . Так как , то или .

Найдем какое-либо частное решение уравнения : , , , .

Найдем решение уравнения , где : , , .

Учитывая, что , получим общее решение уравнения в виде .

Пример 19.3. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пусть , , тогда уравнение примет вид или .

Положим или . Дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим обе части данного уравнения на , получим или . Проинтегрировав обе части уравнения , получим . Частное решение при будет иметь вид , откуда .

При уравнение примет вид или . Учитывая, что , тогда или . Проинтегрировав обе части уравнения, получим , откуда .

Так как , , , то окончательно имеем .