41Expration-пернеменные

Expression [Выражения] содержит Scalar expression [Скалярные выражения], Subdomain, Boundary, Edge(только в трехмерном режиме) и Point expression. Можно задать зависимость параметра от времени t; координат x, y, z; от безразмерной координаты s (изменяется от 0 до 1 по длине каждой границы) или от любых других вычисляемых параметров. Например Q_ist=100*exp(t). У различных элементов системы очень часто одни и те же параметры определяются по разным законам. Есть возможность задать одно имя у переменной, например alfa. И открыв Boundary expression [Граничные выражения] задать для разных границ, различные формулы вычисления alfa. Тогда для всех границ можно будет задать коэффициент теплообмена alfa, а программа сама подставит для каждой границы соответствующую формулу.

42Переменные связи

Coupling Variables [Переменные связи] с помощью этих пунктов меню можно задавать очень сложные зависимости между частями системы. Например связать граничные условия с интегралом по объему.

43Понятие о конечных элементах. Конечно элементная интерполяция.Функции формы

Основная идея метода конечных элементов состоит в минимизация функционала вариационной задачи на множестве кусочно-непрерывных функций, каждая из которых определена на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна, и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Однако дискретную модель можно построить, если предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. Для непрерывной величины поступают следующим образом:

• В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками, или узлами;

• Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена;

• Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области;

• Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Самыми распространенными функциями, которые используются для аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью в методе конечных элементов, являются полиномы. Они строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. Порядок полинома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. Классификация конечных элементов может быть проведена в соответствии с порядком полиномиальных функций этих элементов. При этом рассматриваются три следующие группы элементов: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элсменты.

Симплекс-элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены, в которых число коэффициентов на единицу больше размерности координатного пространства. Например, полином

(1)

представляет собой симплексную функцию для двухмерного треугольного элемента (рис. 2а), является линейным по x, y и содержит три коэффициента, которые определяются из условий для узлов треугольника.

Комплекс-элементы являются расширением класса симплекс-элементов. В них могут присутствовать не только линейные слагаемые, но и члены второго, третьего и более высокого порядка.

Форма комплекс-элементов может быть такой же, как и у симплекс-элементов, но комплекс-элементы имеют дополнительные граничные узлы и могут иметь внутренние узлы. Главное различие между симплекс- и комплекс-элементами состоит в том, что число узлов в комплекс-элементе больше величины, равной размерности координатного пространства плюс единица. Интерполяционный полином для двухмерного треугольного комплекс-элемента (рис. 2б) имеет вид

(2)

Это соотношение включает пять независимых коэффициентов, так как рассматриваемый элемент должен имеет пять узлов.

Мультиплекс-элементы также содержат члены высокого порядка, но границы элементов при этом должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому. Это требование является достаточно сильным, поэтому мультиплекс-элементы имеет смысл использовать в сильно ограниченном круге задач.