Тема 9. Конусы опорныхвекторов

В прошлой лекции было введено множество векторов, опорных в точке ко множеству. Изучим свойства этих множеств.

Теорема 1. В любой точке множествоявляется выпуклым замкнутым конусом.

Доказательство.Пусть,,. Для любогоимееми, а значит,, то есть. Итак,– выпуклый конус.

Проверим его замкнутость. Пусть – предельная точка конуса. Это означает, что существует последовательность

такая, что . Для любой точкисправедливы неравенства

Следовательно, , то есть. Что и означает замкнутость.

Легко увидеть, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть и– множества из,

. Тогда .

Следующая теорема непосредственно вытекает из теорем 2 и 1.

Теорема 3. Пусть ,.

Тогда .

Задача построения конуса векторов, опорных для данного множества в данной точке, вообще говоря, является достаточно сложной. Не существует явных формул или конечных алгоритмов, решающих эту задачу в общем случае. Однако для некоторых классов множеств эта задача решается сравнительно просто. Рассмотрим далее несколько случаев таких множеств, которые нам потребуются в дальнейшем.

Теорема 4. Пусть , где функцияопределена, является выпуклой и непрерывно дифференцируемой на, точкатакова, что. Тогда.

Доказательство.Пусть точка, то есть . Учитывая, что по условиям , имеем . Отсюда и из теоремы 1.4(т.е. Т1 из лекции 4), следует. Что и требовалось.

Получим теперь правило построения конуса опорных векторов для класса множеств, образованных системами выпуклых неравенств. Нам понадобится следующее условие.

Условие Слейтера. Пусть на определены функции,. Говорят, что система неравенств, удовлетворяетусловию Слейтера относительно некоторого множества из , если существует точкатакая, чтодля всех.

Если данная система неравенств удовлетворяет условию Слейтера относительно , то будем просто говорить, что она удовлетворяет условию Слейтера.

Для системы выпуклых неравенств выполнение условия Слейтера обеспечивает непустоту внутренности множества решений системы. То есть .

Теорема 5. Пусть – множество решений системы, удовлетворяющей условию Слейтера, все функциивыпуклы и непрерывно дифференцируемы. Пусть точка такова, что . Тогда, где .

Доказательство.Так как

,

то из теорем 4, 3 и 1 следует, что . (1)

Докажем теперь включение обратное (1). Предположим противное. Это означает, что существует вектор такой, что. (Очевидно, что.) Так как множествоявляется выпуклым и замкнутым, то в силу теоремы 7.1 найдется векторстрого опорный к множествув точке. Тогда для всехимеем

. (2)

Отсюда при получаем. (3)

Выберем произвольно и. Положим. Из неравенства (2) приполучим. Отсюда. Устремляя в этом неравенствек бесконечности, получим. (4)

Так как , то. Из условия Слейтера следует, что нулевое значение функциине является минимальным. Поэтому.

Пусть вектор . Положим. Согласно включению (1). Из теоремы 1 раздела 7 следует, что векторявляется строго опорным в точкек множеству. Поэтому. Таким образом,

. (5)

Положим для произвольного. Тогда. Отсюда и из (4), (5) получаем. Таким образом, по теореме 5.2 векторявляется релаксационным направлением функции в точке. Поэтому найдется такое, что

(6)

для всех . Так как– номер произвольного активного ограничения, то (6) выполняется для всех.

Пусть теперь , то есть. Тогда в силу непрерывности функциинайдется такое, что для всех

. (7)

Положим . Тогда с учетом неравенства (6) получаем, что (7) справедливо для всехи всех.

Таким образом, согласно (7) справедливо включение для.

Из замечания к теореме 7.2 следует, что вектор (опорный кв точке) является строго опорным ко множеству в точке. Поэтому, откуда,

то есть . Приполучим, что противоречит (3). Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведем теперь без доказательства правило построения конуса опорных векторов для множества, образованного системой линейных неравенств.

Теорема 6. Пусть , где – матрица размерности, вектор, точкатакова, что. Тогдасовпадает с конической оболочкой системы векторов, где–-тая строка матрицы.

Заметим, что эта теорема, вообще говоря, не является частным случаем теоремы 5, так как в ней не предполагается выполнение условия Слейтера.