Моп_Л6_2сПМ.doc из 11_Выпуклое_программирование_сент_9_2008.rtf, 10_Конусы_опорных_векторов_сент_9_2008.rtf, 9_Выпуклые_многогранные_множества_сент_9_2008.rtf

Лекция 6

Выпуклое программирование

Тема 8.Выпуклые многогранные множества

Раздел выпуклого анализа, посвященный выпуклым многогранным множествам, тесно связан с теорией систем линейных неравенств. Достаточно полное и детальное изложение теории систем линейных неравенств и выпуклых многогранных множеств можно найти в [9].

Определение 1. Множество называется выпуклым многогранным, если оно представимо как пересечение конечного числа замкнутых полупространств.

Таким образом, например, множества решений системы линейных алгебраических уравнений либо неравенств, где– матрица размерности,, являются выпуклыми многогранными множествами.

Определение 2. Ограниченное выпуклое многогранное множество называется выпуклым многогранником.

Легко увидеть, что справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Выпуклое многогранное множество является выпуклым множеством.

Теорема 2. Пусть – выпуклые многогранные множества. Тогда– также выпуклое многогранное множество.

Особую роль в «устройстве» многогранного множества играет его граница. Приведем следующие понятия.

Для каждого выпуклого многогранного множества существует целое число() такое, что множествосодержится в некотором линейном многообразии размерности(-мерной плоскости), но не содержится целиком ни в какой ()-мерной плоскости. При этом существует только одна такая-мерная плоскость, содержащая множество. Она называетсянесущей плоскостьюмногогранного множества, а числоназываетсяразмерностьюэтого множества. В частности, нуль-мерный многогранник представляет собой точку-мерного пространства. Несущей плоскостью одномерного многогранного множества является прямая. В случае ()-мерного многогранного множества его несущей плоскостью является некоторая гиперплоскость. В случае же-мерного многогранного множества несущая плоскость совпадает со всем пространством.

Граница любого -мерного многогранного множества (при) состоит из конечного числа ()-мерных многогранных множеств, причем все они имеют различные несущие плоскости. Эти многогранные множества называются ()-мерными гранями рассматриваемого-мерного многогранного множества. Каждая из этих ()-мерных граней, в свою очередь, имеет ()-мерные грани. Они также являются гранями исходного-мерного многогранного множества. Аналогично определяются ()-мерные грани и грани меньших размерностей. Итак, у-мерного многогранного множества могут быть грани размерностей,, …, 2, 1, 0. Одномерные грани называютсяребрами. Ребро может быть отрезком, лучом, либо прямой. Нульмерные грани называютсявершинами.

Приведем следующую теорему без доказательства.

Теорема 3. Для того, чтобы вектор из выпуклого многогранного множествабыл его вершиной, необходимо и достаточно, чтобы он был крайней точкой множества.

Определение 3. Множество называетсявыпуклым многогранным конусом, если оно одновременно является выпуклым многогранным множеством и выпуклым конусом.

Легко увидеть, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть – выпуклые многогранные конусы. Тогда– также выпуклый многогранный конус.

Нулевой вектор пространства принадлежит любому выпуклому многогранному конусу и является его единственной вершиной и как вершина выпуклого конуса и, если он является крайней точкой, то и как вершина многогранного множества. Ребрами выпуклого многогранного конуса могут быть только лучи либо прямые. Нетрудно увидеть, что луч является выпуклым многогранным конусом.

В большинстве случаев число mнеравенств большеn – числа неизвестных.

Приведем без доказательства ряд дополнительных утверждений о свойствах выпуклых многогранных множеств.

Теорема 5. Для того чтобы луч из выпуклого многогранного конусабыл его ребром, необходимо и достаточно, чтобы он был крайним лучом конуса.

Теорема 6. (О представлении выпуклого многогранного множества) Пусть выпуклое многогранное множество задано системой линейных неравенств , где – матрица размерности , , ранг матрицы . Тогда множество представимо в виде, где выпуклый многогранник,– совокупность вершин множества, выпуклый многогранный конус,– множество направляющих векторов неограниченных ребер (лучей) множества.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для в любой точкесправедливо включение.