. (4)

Справедливость этого утверждения следует из теоремы 4, и теорем 2 и 4 из раздела 5.

Следствие. Пусть – выпуклая и дифференцируемая нафункция. Тогда для того, чтобы точкабыла безусловным минимумом функции, необходимо и достаточно, чтобы .

Справедливость этого утверждения очевидным образом следует из (4) при .

Тема 7. Опорные векторы

Определение 1. Вектор называетсяопорным в точке ко множеству, если выполняется неравенство

При этом для гиперплоскостьназываетсяопорной в точке к множеству.

Легко увидеть, что опорные векторы определяются не единственным образом.

Обозначим через множество опорных векторов в точкек множеству . Иногда множество векторов опорных вк будем обозначать.

Очевидно, что нулевой вектор всегда включается во множество , причем если, то. Далее в этом разделе мы изучим условия существования ненулевых опорных векторов. Но прежде приведем следующее определение.

Определение 2. Вектор называетсястрого опорным в точке к множеству, если выполняется неравенство.

Очевидно, что строго опорный вектор является опорным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Теорема 1. Пусть– выпуклое множество из и.Тогда существует вектор строго опорный в точкек множеству .

Доказательство. Согласно теореме о существовании проекции . Обозначим для краткостии положим. Так как , вектор . Убедимся, что вектор – строго опорный к в точке . Из выпуклости множества следует выпуклость . Тогда неравенство справедливо для всех, а значит, и для всех . Преобразуем это неравенство следующим образом:

,

откуда . Что и требовалось.

Теорема 2. Пусть – выпуклое множество и. Тогда существует ненулевой опорный вектор в точкек множеству.

Доказательство. Если , то этот факт следует из теоремы 1. Пусть. Тогда из условия теоремы следует, что – граничная точка множества . Поэтому существует последовательность такая, что . Согласно теореме 1 для любого существует ненулевой вектор строго опорный в точке к множеству . Следовательно, для всех имеем

. (1)

Не нарушая общности, можно считать, что для всех Поэтому последовательность имеет предельную точку. Также, без ограничения общности, будем считать, что эта последовательность сходится. Положим. Очевидно, что. Перейдем в (1) к пределу по. Получим . Таким образом, – опорный вектор в точке к множеству . Что и требовалось.

Замечание. Ненулевой опорный вектор в точке к множеству является строго опорным вектором в к множеству .

7