Тема 6. Экстремальные свойства выпуклых функций

Данный раздел посвящен изучению экстремумов выпуклых функций на выпуклых множествах. Этот класс задач на экстремум наиболее удобен для исследования и решения.

Теорема 1. Пусть – выпуклое множество из , функция – выпукла на . Тогда всякий локальный условный минимум функции на множестве является и глобальным.

Доказательство. Пусть – точка локального минимума функции на множестве . Тогда существует такое число , что для всех выполняется неравенство

. (1)

(Здесь .) Предположим

противное, то есть, что существует точка

такая, что

. (2)

В силу выпуклости множества имеем

. Следовательно,

для достаточно

малых значений . Из неравенств (1), (2) и в силу выпуклости функциина множестве для такихимеем

Полученное противоречие доказывает теорему.

Следующие две теоремы устанавливают свойства множества точек условного минимума.

Теорема 2. Пусть – выпуклое множество из , функция – выпукла на . Тогда – выпуклое множество.

Доказательство. Очевидно, что

.

Поэтому выпуклость множества следует из теорем о пересечени.

Теорема 3. Пусть – выпуклое множество из , функция – строго выпукла на . Тогдамножество содержит не более одной точки.

Доказательство. Пусть. Докажем, что оно состоит только из одной точки. Пусть это не так, то есть существуют два различных вектора.Тогда в силу выпуклости множества (см. предыдущую теорему)при любом, и в силу строгой выпуклости функцииимеем

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 4. (Критерий условного экстремума в терминах конусов условно релаксационных направлений) Пусть – выпуклое множество из , функция выпукла на . Тогда для того, чтобы точка была минимумом функции на множестве , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть –минимум функции на .Убедимся, что конус. Предположим противное, то есть существует вектор. Поскольку по определению, найдется числотакое, что при всехимееми. Таким образом, получено противоречие с тем, что –условный минимум.

Достаточность. Пусть. Докажем, что . Предположим противное. Пусть существует точка такая, что

. (3).

Обозначим . Согласно теореме 4 из раздела 5, имеем . Учитывая неравенство (3) и выпуклость функции , получаем неравенствасправедливые при всех . Значит,. Таким образом,. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие. Пусть функция выпукла на . Тогда для того, чтобы точка была безусловным минимумом функции , необходимо и достаточно, чтобы .

Справедливость этого утверждения следует

из того, что здесь и (см. раздел 5).

Теорема 5. (Критерий условного экстремума первого порядка) Пусть – выпуклое множество, дифференцируемая функциявыпукла на.Тогда для того, чтобы точкабыламинимумомфункции намножестве,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие