5. Классическая задача условной оптимизации, как задача о нахождении седловой точки функции Лагранжа

Пара называетсяседловой точкой, если выполняется неравенство.

(13)

В отличие от кривых 2-го порядка в аналитической геометрии, здесь нельзя менять порядок следования переменных в паре , т.к. они выполняют разные функции в задаче оптимизации.

Очевидно, что (13) эквивалентно . (14)

Из (14) следует, что . (15)

Система (15) содержит уравнений, подобных темуравнениям, которые представляют необходимое условие в стационарной точке классической задачи условной оптимизации:

(16)

где - функция Лагранжа.

В связи с аналогией систем уравнений (15) и (16), классическую задачу условной оптимизации можно рассматривать как задачу о нахождении седловой точки функции Лагранжа, т.е. x⁰ x*.

6. О практическом смысле множителей Лагранжа

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде ;, где- управляющие (внешние) переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы – параметры задачи.

Для простоты изложения рассмотрим пример в с одним ограничением и параметромb:

. , где- переменная величина.

Пусть - точка условного экстремума. При измененииизменяются и, т.е.. Соответственно изменится и значение целевой функции:(b).

Вычислим полные производные в стационарной точке:

. (17)

(18)

Из grad L=0 в x* следует: , то есть

. (19)

Подставим (18), (19) в (17) и получаем:

(20)

Из (20) следует, что множитель Лагранжа характеризует "реакцию" значенияна изменения параметра.

В общем случае (20) принимает вид: ;.

Таким образом, множитель ,характеризует изменение оптимальногопри изменении соответствующего-того ресурсаb_i на единицу.

11