1. Случайные события. Классическое определение вероятности события.

Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании . Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место". Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, ит.п. классическая вероятность- ВЕРОЯТНОСТЬЮ события А называется число, равное отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу исходов.

Пример. В мешке находится 10 пронумерованных бочонков (на каждом бочонке поставлено по одной цифре от 1 до 10). Бочонки с цифрами 1, 2, 3 и 4 - красные, остальные – черные. Появление бочонка с цифрой 1 (или цифрой 2, или цифрой 3, или цифрой 4) есть событие, благоприятствующее появлению красного бочонка. Появление бочонка с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8, 9, 10) есть событие, благоприятствующее появлению черного бочонка.

2. Операции над случайными событиями.

Случайное событие может представляться через другие случайные события в виде: суммы событий, произведения и дополнения.

Дополнением событием случайного события А является подмножество пространства элементарных событий Е, состоящее из элементов, которые не входят в А.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B,) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением двух событий A и B (обозначается A×B,) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса, Бернулли и Пуассона.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез.

P(A)=P(A*B₁+A*B₂+...+A*B_n)=P(A*B₁)+P(A*B₂)+...+P(A*B_n)=P(B₁)*P_B1(A)+P(B₂)*P_B2(A)+...+P(B_n)*P_Bn(A)

Это соотношение называют формулой полной вероятности, а события В₁,В₂,...,В_n —гипотезами

Формула Байеса — одна из основных формул элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие, имея на руках лишь косвенные тому подтверждения, которые могут быть неточны.

Формула Бернули — позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях  пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

4. Формы закона распределения. Понятия функции распределения и плотности распределения вероятностей случайных величин.

Случайные величины и законы их распределения Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.

Случайные величины бывают двух типов: • непрерывные; • прерывные (дискретные).

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. 

5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их свойства.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Основные свойства математического ожидания:

• математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин

• математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

 

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна

• дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

• дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ±h ) = D(x ) + D (h ).