Алгоритм Басакера-Гоуэна:

Шаг0: решение начинаем с нулевого потока v’ = 0

Шаг1: строим граф модифицированных стоимостей (Gf) по следующим правилам:

1. Множество вершин графа Gf совпадает с множеством вершин графа G

2. Если в графе G 0 < f(x,y) < c(x,y) тогда в графе Gf строим 2 дуги: прямую с длиной равной стоимости (l(x,y) = d(x,y)) и обратную с длиной равной минус стоимость (l(x,y) = -d(x,y))

3. Если в графе G f(x,y) = 0 то в графе Gf строим 1 прямую дугу с длиной равной стоимости

4. Если f(x,y)=c(x,y) то в графе Gf строим 1 обратную дугу с длиной равной минус стоимости

Шаг2: находим в графе Gf минимальный путь из S в T который обозначается P*. В исходном графе G определяем путь Р соответствующий Р*. На прямых дугах вычисляем (ипсилоп1) = с-f на обратных (ипсилон2) = f. После этого выбираем ипсилон = min {ип1, ип2, V-V’}. На прямых дугах поток увеличиваем на ипсилон, на обратных – уменьшаем.

Шаг3: получаем V’=V’ предыдущее + ипсилон. Если V’=V, то алгоритм свою работу заканчивает. В графе G построен поток мощности V минимальной стоимости.

Замечание: если задача на нахождение максимального потока минимальной стоимости то алгоритм свою работу заканчивает когда в графе Gf нет ни одного пути Р* из S в T.

21. Алгоритм Клейна. (Назначение, пошаговая реализация).

Постановка задачи: задана сеть к каждой дуге которой поставлено в соответствие 3 числа: с(х, у) – пропускная способность, f (x,y)– поток, d(x,y) – стоимость провоза единицы потока по дуге x,y. Требуется пропустить в сети допустимый поток заданной величины v или максимальный поток минимальной стоимости. .

Алгоритм Клейна

Решает задачу построения максимального потока минимальной стоимости.

Шаг0: решение начинаем с любого потока f и истока S в сток T мощности V. Это может быть сделано подбором или с помощью задачи о максимальном потоке (алгоритм Форда-Фалкерсона). Вычисляем стоимость пропущенного потока f по формуле

Шаг1: строим граф модифицированных стоимостей Gf.

Шаг2: находим в графе Gf ориентированный цикл отрицательной длины P*, который будем обозначать d_f (P*) <0. Если в графе модифицированных стоимостей нет ни одного цикла отрицательной длины, то задача решена.

В сети построен поток минимальной стоимости заданной мощности. В противном случае переходим к шагу 3

Шаг3: в исходной сети G определяем замкнутый путь P соответствующий циклу P*. На прямых дугах пути P вычисляем ипсилон1(c-f), на обратных ипсилон 2 (f) находим эпсилон (минимальное 1 или 2). На прямых дугах увеличиваем поток, на обратных уменьшаем. Пересчитываем стоимость S(f) = Sпред.(f)+d_f(P*)*ипсилон. Переходим к шагу 1.

22. Матричные игры. Определение понятий: игра, исход игры, функция выигрыша, максимин, минимакс, седловая точка, решение игры.

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций. Её задача – выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников конфликта.

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. От реальной конфликтной ситуации она отличается тем, что ведется по определенным правилам. Стороны, участвующие в конфликтной ситуации, называются игроками.

Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, т.е. сумма выигрыша их сторон равна нулю.

Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. Ход называется случайным, если выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом (выбор карты, бросание монет).

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы.

Число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему стратегию – максиминной.

Число показывает, какой минимальный гарантированный выигрыш может получить игрок A, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока B.

Число бета = minmaxaij называют верхней чистой ценой игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию – минимаксной.

Число бета показывает, какой минимальный гарантированный проигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока A. Всегда альфа <= бета. Если альфа = бета, то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры V=альфа=бета. Стратегии, образующие седловую точку, называются оптимальными. Тройку (Ai*,Bj*,V) называют решением игры.