Симплексный метод (назначение метода, признаки бесконечного множества решений, неограниченности целевой функции, несовместности системы).
Назначение метода
Симплекс-метод - это итеративный процесс направленного решения системы уравнений по ша-гам, который начинается с опорного решения и в поисках лучшего варианта движется по угло-вым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения. Приведя модель задачи к предпочти-тельному виду её заносят в симплексную таблицу.
Неограниченность целевой функции
Если в разрешающем столбце нет ни одного положительного элемента, то целевая функция на множестве допустимых планов неограниченна.
Бесконечное множество решений
Если в индексной строке последней симплексной таблицы (содержащей оптимальный план) имеется хотя бы 1 нулевая оценка, соответствующая свободной переменной, то ЗЛП имеет бесконечное множество оптимальных планов.
Несовместимость системы
Обнаруживается при построении начального допустимого базисного решения (оно не существует).
Двойственные задачи в линейном программировании (ЛП). Понятие двойственности, формулировка двойственной задачи, правила построения пары взаимнодвойственных задач, примеры.
С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача – прямая или исходная. Многие задачи линейного программирования первоначально ставятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому говорят о паре взаимно двойственных ЗЛП. Пара симметричных двойственных задач имеет следующий вид:
Прямая задача: 
Двойственная задача:
Правила построения двойственных задач
Если прямая задача решается на максимум, то двойственная – на минимум, и наоборот
В задаче на максимум ограничения-наравенства имеют знак <=, а в задаче минимизации – >=.
Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, каждому ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи
Матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений исходной задачи транспонированием
Свободные элементы системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи и наоборот
Если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение равенство
Если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается
П ример
M
axZ =
-12x1
+ 10x2
– 15x3
-11x4
2x1 – 4x2 + x4 >= 3; y1
3x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 4; y2
4x1 – 5x2 + 2x3>= -1 ; y3
-x1 +3x2 + 2x4 >=2; y4
-2x1 + x2 – 3x4 = -5; y5
X1,x4>= 0; x2,x3 (для любого знака)
Minf = -3y1 -4y2 + y3 -2y4 + 5y
-
2y1
-3y2 – 4y3 – y4- 2y5 >= -12
4y1 – y2 +5y3 – 3y4 – y5 =10
2y2 - =-15
= -15
***>=-11
Y1y3y4 >= 0; y2y5 (любого знака)
MinZ = x1 +2x2 – x3 + x4
Max Z = 4y1 + 6y2 – 8y3
32 |
2 |
0 |
4 |
0 |
3 |
0 |
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
Y4 |
Y5 |
Y6 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Min f = 32
Y* = (0,3,0,2,0,4)
Y2*=3>0 ресурс используется полностью
Y1* =0 ресурс в избытке
Y3* = 0 избыток
Двойственные задачи в ЛП. Вторая теорема двойственности, т.е. условия о дополняющей нежесткости, соответствие между переменными прямой и двойственной задач, экономическая интерпретация дополнительных переменных двойственной задачи.
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче.