Смешанные стратегии. Оптимальные смешанные стратегии, цена игры, доминирующие стратегии, методы упрощения платежных матриц.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор вариантов действий при каждом ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной стратегией игрока называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).
Игры, в которых оба участника сознательно стремятся добиться наилучшего для себя результата, называются стратегическими.
Рассмотрим
игру, в которой игрок 
имеет 
стратегий, а игрок 
– 
стратегий. Такая игра называется игрок
.
Наши стратегии будем обозначать 
,
противника – 
.
Предположим, что каждая сторона выбрала
определенную стратегию. Мы выбрали 
,
противник – 
.
Выбор стратегии однозначно определяет
исход игры (наш выигрыш). Обозначим его
.
Предположим, что нам известны значения
для каждой пары стратегий. Эти значения
можно записать в виде прямоугольной
таблицы. Такая таблица называется
платежной матрицей.
Графический метод решения матричных игр.
Для некоторых классов матричных игр практический интерес представляет графоаналитический метод. Этот метод состоит из двух частей. Вначале в матричной игре графически выявляются качественные особенности решения, затем полная характеристика решения находится аналитически. В основе метода лежит утверждение, которое остаётся верным и в смешанном расширении игры. Седловая точка в матричной игре существует тогда и только тогда, когда выполняется равенство
max min f (x,y) min max f (x,y)= *
причём седловую точку составляют стратегии, доставляющие внешние экстремумы в последнем равенстве.
Схема решения графического метода простейших матричных игр |
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока. 2. Определяют нижнюю (верхнюю) границу выигрыша. 3. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. 4. Определяют цену игры и оптимальные стратегии. |
25) Решение матричных игр сведением к задаче линейного программирования.
Пусть игра задана платёжной матрицей. Оптимальные решения игры P* = (р1*,…,pi*,…,pm*). Оптимальные стратегии Q*(q1*,…,qj*,…,qn*).
Оптимальные стратегия и решение P* и Q* для игроков А и В могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программирования.
Для игрока а:
В
результате решения находим оптимальный
вектор х* и f*. Затем находим решение
игры V.
Для
игрока В:
Решение:
Решения А и В – пара симметричных двойственных задач. Найдя решение одной, получаем решение второй.