Практическое задание 1

Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки , построить графики этих функций.

Для построения ряда Тейлора в Maple существует фукнция

taylor(функция, x=a, n);

где x – имя независимой переменной, от которой зависит функция, a – точка в районе, которой ищется приближение , n – количество членов ряда.

Результатом выполнения данной команды служит разложение функции в ряд Тейлора с остаточным членом. Для дальнейшей работы с этим разложение остаточный член будет только мешать, его можно отбросить командой сonvert.

В Maple необходимо сделать следующее:

1. задать функцию f

2. задать значение x0 и n=5

3. разложить функцию в ряд Тейлора, отбросить остаточный член и обозначить полученное разложение переменной g.

4. построить обе функции на графике в окрестности точки x0.

Практическое задание 2

Произвести интерполяцию функции

на промежутке [-1,1] с 11 узлами

с помощью алгебраического полинома, полинома Лагранжа, полинома Ньютона.

Построить полином Лагранжа по 11 узлам Чебышева.

Построить функцию и полученные интерполяционные полиномы на графике.

Т.е. необходимо:

1. задать функцию f как функцию, зависящую от x

2. задать начало и конец промежутка как a, b и количество узлов n

3. сформировать список узлов с помощью команды seq (формула для нахождения узлов: ).

4. используя команду map найти значения функции (последовательность значений ) для соответствующих значениях x

5. используя пакет CurveFitting и команду PolynomialInterpolation построить три интерполяционных полинома. Обозначить их P (алгебраический), L (Лагранжа) и l (Ньютона).

6. сформировать список узлов Чебышева с помощью команды seq (формула для нахождения узлов: ).

7. используя команду map найти значения функции (последовательность значений ) для соответствующих значениях

8. используя пакет CurveFitting и команду PolynomialInterpolation построить интерполяционный полином Лагранжа по новым узлам, обозначить его LC.

9. Построить все полиномы (P, L, l, LC) саму фунцию f(x) на графике.

Занятие 3. Построение кривой по точкам

Техника численного анализа часто применяется для вычерчивания графиков экспериментальных данных.

Линия, построенная методом наименьших квадратов

Пусть ‑ совокупность точек с различными абсциссами .

Линия построенная, методом наименьших квадратов

коэффициетны находятся из условия минимума расстояния

Коэффициенты линии наименьших квадратов являются решениями следующей системы линейных уравнений, известной под названием нормальные уравнения:

Метод линеаризации данных для экспоненциальной кривой

Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой

Прологорифмируем обе части равенства:

Заменим переменные и получим линейное соотношение между новыми переменными:

где .

Исходные точки преобразовались в точки , этот процесс называется линеаризацией данных. Тогда построенная методом наименьших квадратов линия является подгонкой к точкам .

После нахождения параметров и , вычисляется параметр :

Техника метода линеаризации данных применяется для подгонки и других кривых, например

, .