Практическое задание 1.

Рассмотрим функцию . Используя составную формулу трапеций с выборкой из 11 точек, вычислить приближенное значение интеграла от на интервале .

План:

1. Задать фукнцию через оператор и обозначить ее f

2. Задать концы интервалов как переменные a, b

3. Задать количество интервалов M:=10 (если точек 11, то интервалов будет 10)

4. Посчитать шаг, обозначить h ( )

5. Создать с помощью операции $ или seq список значений x ( )

6. Посчитать значение интеграла по формуле (1)

7. Посчитать значение интеграла с помощью функции int

Практическое задание 2.

Рассмотрим функцию . Используя составную формулу Симпсона с выборкой из 11 точек, вычислить приближенное значение интеграла от на интервале .

План:

1. Задать фукнцию через оператор и обозначить ее f

2. Задать концы интервалов как переменные a, b

3. Задать количество интервалов M:=5 (так как число интервалов равно )

4. Посчитать шаг, обозначить h ( )

5. Создать с помощью операции $ или seq список значений x ( )

6. Посчитать значение интеграла по формуле (2) (необходимо учитывать то, что нумерация в списке начинается с 1, а нумеруются с 0)

Практическое задание 3.

Выполнить задание 2 используя для вычисления интеграла по формуле (1) оператор цикла.

План:

1. Задать фукнцию через оператор и обозначить ее f

2. Задать концы интервалов как переменные a, b

3. Задать количество интервалов M:=10 (если точек 11, то интервалов будет 10)

4. Посчитать шаг, обозначить h ( )

5. Создать x[0]:=a;

6. Задать начальное значение суммы равное s:=0

7. Задать цикл i от 1 до M. В теле цикла посчитать x[i] ( ) и s ( )

Занятие 6. Решение нелинейных уравнений

Фундаментальным принципом компьютерной науки является итерация, т.е. процесс повторяется до тех пор, пока не будет получен ответ. Техника итераций используется для нахождения корней уравнений, решения систем линейных и нелинейных уравнений и решения дифференциальных уравнений.

Метод простой итерации

Дано уравнение с одной независимой переменной

(1)

где ‑ некоторая заданная функция, переменная изменяется на отрезке

В методе простой итерации члены приближающей последовательности находятся непосредственно из уравнения (1)

, (2)

Т.е. последовательность имеет такой вид:

Данный метод будет сходиться к корню уравнения , когда

на интервале

Для остановки итерационного процесса используют следующий критерий

Итерационный процесс выполняется до тех пор, пока , где ‑ заданная точность.

Метод бисекции (деления пополам)

Дана функция , необходимо найти ее единственный корень на промежутке .

Если корень на этом промежутке существует, то должно выполняться неравенство

(т.е. они должны иметь разные знаки).

Так как функции непрерывная, то ее график пересекает ось в точке ‑ решение уравнения. Метод деления пополам сдвигает крайние точки все ближе, пока на интервале не получится произвольно малый отрезок, содержащий корень. Решающим шагом процесса деления интервала пополам являетя выбор средней точки и анализ трех возможных ситуаций, которые могут возникнуть.

1. если , то корень содержится на интервале (т.е. принимаестя )

2. если , то корень содержится на интервале (т.е. принимаестя )

3. если , то корнем является точка

Данный процесс итераций прекращается, когда длина интервала станет меньше , т.е.

.