Методичка. Расчет на прочность при сложном нагружении

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра строительной механики

Утверждаю Зав. кафедрой профессор

________И.В. Демьянушко

« 30 » января 2007г.

А.М. ВАХРОМЕЕВ

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

Методические указания

МОСКВА 2007

УДК 624.046 ББК 34.41

© Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет), 2007

Введение

Под сложным нагружением подразумевают различные комбинации простейших деформаций бруса - растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом, на основании принципа независимости действия сил, напряжения и деформации в стержне при сложном нагружении определяют суммированием напряжений или деформаций, вызванных каждым внутренним силовым фактором в отдельности. Напомним, что этот принцип применим в тех случаях, когда имеют место только упругие деформации, а материал подчиняется закону Гука.

Рассмотрение вопросов, связанных с расчетом на прочность и жесткость элементов, работающих в условиях сложного нагружения, начнем с частных случаев, которые наиболее популярны.

1. КОСОЙ ИЗГИБ

Изгиб, при котором внешние нагрузки действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции, называется косым изгибом (рис.1.1). Главной плоскостью инерции называется такая плоскость, которая включает в себя ось балки (z) и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (x или у). Плоскость, в которой располагаются внешние нагрузки, называется силовой плоскостью.

1.1. Определение напряжений при косом изгибе

Рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, как показано на рис.1.2.

Находим проекции силы Р на главные центральные оси инерции x и y (см. рис.1.2):

Px = P sin α и Рy = P cos α.

Каждая из проекций располагается в одной из главных центральных плоскостей инерции и, таким образом, косой изгиб

и изгибающие моменты М y = Px y = P y sin α,

Mx= Py = P x cos α.

Определим напряжения, возникающие в произвольной точке К рассматриваемого сечения (см. рис.1.2): от изгибающего момента

Мx

σ/ = M х y ,

J x

от изгибающего момента My

σ// = M y х ,

J y

здесь x и у - координаты точки, в которой рассчитывают напряжения.

Знак напряжения зависит от характера деформации (растяже- ние-плюс, сжатие-минус). В нашем случае оба напряжения являются растягивающими и имеют знак плюс.

На основании ПНДС полное нормальное напряжение в точке К равно их алгебраической сумме

При проведении расчетов на прочность условие прочности составляется для опасной точки поперечного сечения, т.е. для точки, в которой нормальные напряжения достигают максимальных значений. Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, разделяющей растянутую и сжатую зоны сечения.

В связи с этим большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

1.2. Определение положения нейтральной линии при косом изгибе

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (1.1), если предположить, что точка К с координатами x0, y0 лежит на нейтральной линии. В этом случае нормальное напряжение в точке равно нулю

Уравнение нейтральной линии при косом изгибе (1.2) есть уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона β (рис.1.3) к главной оси x. С учетом (1.2) находим

Так как в общем случае Jx ≠ Jy и, следовательно, |tg β| ≠|tg α|, то можно заключить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к линии действия внешней силы.

Из формулы (1.3) следует, что для сечений с Jx=Jy (квадрат, круг, кольцо, правильный многоугольник), т.е. для сечений, у которых любые центральные оси являются главными, углы α и β равны, и нейтральная линия перпендикулярна линии действия

внешней силы. Балки такого сечения не испытывают деформации косого изгиба.

Определение положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (точки A и B на рис.1.3).

Рис. 1.3

Для некоторых сечений (прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п.) наиболее напряженные точки расположены в углах этих сечений, т.е. их можно найти без определения положения нейтральной линии (рис.1.4).

Условия прочности составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен элемент конструкции (брус).

1.3. Определение перемещений при косом изгибе

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы x и у в направлении главных осей, а величину полного прогиба в любом сечении балки получают геометрическим суммированием:

Например, для балки, изображенной на рис.1.2, прогиб конца консоли определится следующим образом:

Рис. 1.5

Направление полного перемещения tgφ определится величиной отношения x / у (рис.1.5)