6. Прост. И слож. С-я. Сумма соб-ий. Т.Сложения «р».
Простые события- события легко воспроизводимые, вероятности которых опр-ся по наблюдаемой частоте их появления в серии опытов. Сложные- события, сложные в воспроизведении, но логически связанные с первым, вероятность кот-ых опр-ся косвенно ч/з вероятности первых событий.
Теория сложных событий позволяет по вер-тям простых событий опр-ть вер-ти сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вер-тей.
Суммой
2х событий
А и В наз-ся соб-е С, состоящее в наступлении
либо соб-я А, либо В, т.е. С=А+В или
или
,где
- достоверное соб-е. Св-ва:
1) коммутативность сложения А+В=В+А; 2)
ассоциатовность сложения (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность А*(В+С)=АВ+АС; Также
справедливы равенства: 1) А+А=А; 2)
;
3) Если В
А
=> В+А=А; 4)
.
Вероятность
суммы 2х событий
= сумме вероятностей этих соб-ий без
вероятности их совместного наступления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). Док-во:
Пусть n-число
равновозмож. исходов эксперимента по
воспроизведению соб-ий А и В, m
исходов способствует соб-ю А, к –> В
=>
Р(А)=m/n;
P(B)=k/n;
P(A*B)=l/n
– по классическому опр-ю вероятности.
Соб-ю А+В благоприятствует m+k-l,
т.е. A+B~m+k-l
=>
ч.т.д.
Т. сложения для несовместных событий:
Вер-ть суммы
несовм. соб-ий = сумме вероятностей этих
событий, т.е.
,
где Ai
- попарно несовместное соб-е при
.
Следствия:
1)
Сумма вер-тей соб-ий, образ-их полную
группу, = 1:
,
где Ai
– полная группа соб-ий. Док-во:
A1,A2,…,An
– полная группа событий =>
,
P(A1+A2+…+An)=1
=> P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
ч.т.д. 2)
Сумма вер-тей противоположных событий
= 1. Противоположные соб-я образуют полную
группу соб-ий:
7. Прост. И слож соб-я. Произвед-е с-ий. Услов. «р» с-я. Т. Умн-я «р».
Простые события- события легко воспроизводимые, вероятности которых опр-ся по наблюдаемой частоте их появления в серии опытов. Сложные- события, сложные в воспроизведении, но логически связанные с первым, вероятность кот-ых опр-ся косвенно ч/з вероятности первых событий.
Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий опр-ть вер-ти сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вер-тей.
Произведением
2х соб-ий А
и В наз-ся соб-е С, состоящее в совместном
наступлении соб-ий А и В. С=А*В, т.е.
. Св-ва: 1) коммутативность произведений
А*В=В*А; 2) ассоциативность пр-я
(А*В)*С=А*(В*С); 3) дистрибутивность
А*(В+С)=АВ+АС. Также справедливы след.
равенства: 1) А*А=А; 2)
;
3) Если В
А
=> В*А=В; 4)
.
2 соб-я А и В наз-ся зависимыми, если вероятность наступления 1го из них зависит от того, наступило ли др. соб-е или не наступило.
2 соб-я А и В наз-ся незав-ми, если вер-ть наступ-я 1 из них не зависит от наступления др. соб-я.
Условия зависимости и незав-ти соб-ий как правило взаимно, но зависит от условий организации эксперимента.
Под условной
вер-ю соб-я
понимают вер-ть этого соб-я, определенную
при условии, что соб-е В наступило:
или Р(А/В).
Т. умножения
вер-тей для завис. соб-ий:
Вер-ть произведения 2х соб-ий = произведению
вер-ти 1го из них на условную вер-ть
другого: Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В). Док-во:
Пусть n
–общее число равновозмож. исходов
эксперимента по воспроизведению соб-ий
А и В, из них m~A,
k~B,
L~AB
=> P(A)=m/n;
P(B)=k/n;
P(AB)=l/n.
=>
P(AB)=P(B)*P(A/B)
или
=> P(AB)=P(A)*P(B/A) ч.т.д.
Для независ. соб-ий: Вер-ть произведений независ. соб-ий = произведению вер-тей этих соб-ий. Р(АВ)= Р(А)* Р(В) т.к. А и В независимые события P(A/B)/P(A) и P(B/A)=P(B) => Р(АВ)= Р(А)* Р(В)