Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оля ответы.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
3.22 Mб
Скачать

28. Закон больших чисел. Неравенство Маркова.

ЗБЧ - это некоторый принцип, согласно которому совокупные действия большого числа СВ приводят к результату почти независящему от случая. Другими словами, при большом числе СВ их ср.знач. перестает быть случайным т.е его можно предсказать с опр. степенью доверия. В узком понимании это ряд теорем, в каждой из кот. для тех или иных условий устанавливается факт приближения ср.характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Неравенство Маркова.

Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет матем.ожидание , то для любого положительного числа А выполняется неравенство: ,

Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам. Оно не дает эффективного результата в случае, когда . Док-во: Х=(x1,x2…xn) P(X=xi)=pi; i= . A>0

Выберем, что i=

Заменив возможное значение хk+1, xk+2xnна А>0 в послед. неравенстве, то получаем более строгое неравенство, т.е.

29. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

ЗБЧ - это некоторый принцип, согласно которому совокупные действия большого числа СВ приводят к результату почти независящему от случая. Другими словами, при большом числе СВ их ср.знач. перестает быть случайным т.е его можно предсказать с опр. степенью доверия. В узком понимании это ряд теорем, в каждой из кот. для тех или иных условий устанавливается факт приближения ср.характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Неравенство Чебышева.

Теорема. Для любой СВ, имеющей матем.ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: .

Вторая форма записи:

Следствие 1. Для СВ Х, распределенной по биномиальному ЗР(Х-число экспериментов в схеме из n независимых испытаний, в которых событие А наступило) справедливо неравенство: ,где npg=D(X), np=M(X)

Следствие 2. (для нахождения доли): Для частоты события, распределнного по нормированному биномиальному закону, справедливо неравенство: ,где pg/n=D(X), p=M(X).

Док-во: Применив нер-во Маркова к С.В. X=(X - Mx)2; А=ℰ2

1) ;

2)

И следует:

Теорема Чебышева: Если дисперсия n независимых СВ Х1, Х2,...,Хn ограничены одной и той же постоянной (D(x)=C), то при их ср.арифм. сходится по вероятности ср.арифм. их математического ожидания.

Следствие. Если дисперсия n независимых СВ ограничена одной и той же постоянной С, а их математические ожидания совпадают , то ср.арифм. исходных СВ сходится по вероятности мат.ожидания отдельной СВ.

30. Закон больших чисел. Теорема Чебышева

ЗБЧ - это некоторый принцип, согласно которому совокупные действия большого числа СВ приводят к результату почти независящему от случая. Другими словами, при большом числе СВ их ср.знач. перестает быть случайным т.е его можно предсказать с опр. степенью доверия. В узком понимании это ряд теорем, в каждой из кот. для тех или иных условий устанавливается факт приближения ср.характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Теорема Чебышева: Если дисперсия n независимых СВ Х1,Х2....Хn ограничены одной и той же постоянной (D(xi)≤C), то при их ср.арифм. сходится по вероятности к ср.арифм. их математического ожидания т.е не имеет четких границ области распределения.

Док-во: X1, X2… Xn– независ. С.В. M(xi)=aii= D(xi) C

Рассмотрим С.В. для кот. запишем нерав-во Чебышева:

Тогда:

Следствие. Если дисперсия n независимых СВ ограничена одной и той же постоянной С, а их математические ожидания совпадают , то ср.арифм. исходных СВ сходится по вероятности мат.ожидания отдельной СВ.