24. Понятие многомерной дискретной случайной величины и закон ее распределения.

Многомерная СВ - это функция, определенная на множестве элементарных событий. Значением функции яв-ся набор значений случайных величин, входящих в систему, которые называют реализацией многомерной СВ. Обозначается: Х=( ).

Различают дискретную и непрерывную многомерную СВ. Если составляющая многомерной яв-ся дискретной, то СВ яв-ся дискретной, если непрерывной - непрерывной.

ЗР многомерной СВ - это всякое соотношение, устанавливающее связь между ее реализациями и соответствующими им вероятностями. ЗР двумерной дискретной СВ можно задать в виде таблицы распределения.

y1 y2 ... уn pi

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...

xm p31 p32 ... pmn

pj

- основное свойство таблицы распределения. По таблице распределения можно получить ЗР СВ, входящих в систему. Для получения ЗР СВ Х необходимо просуммировать вероятности по каждой строке. Х: Р(Х= ) = , ; Y: P(Y= ) = ;

25. Функция распределения многомерной св.

Функцией распределения многомерной СВ ( ) называется вероятность совместного наступления событий , т.е.

F( )= ).

Геометрически функцию распределения двумерной СВ (Х;У) можно представить как вероятность попадания ее реализаций в бесконечный квадрант с вершиной в т.А.

F(x;y) =

Свойства функции распределения:

1) F(x;y) - неубывающая функция по х и у

2) F = (y)

- безусловные ЗР СВ х и у соответственно.

3)

4)

Рассмотрим прямоугольник А(х1;у1)В(х1;у2)С(х2;у2)Д(х2;у1). Р(х1<X<x2;у1<Y<у2)=F(x2;у2)-F(x1;y2)-F(x2;y1)+F(x1;y1)

26. Понятие многомерной непрерывной св. Плотность вероятности двумерной св.

Непрерывной МСВ наз-ся МСВ,ЗР которой может быть задан в виде непрерывной функции распределения. Двумерная СВ (Х,У) называется непрерывной, если ее функция распределения F(x,y) - непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Плотностью вероятности непрерывной двумерной СВ (Х,У) наз-ся вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е. .

Для двумерной СВ (Х,У) поверхность распределения f(x,y) имеет вид:

Свойства:

1) f(x,y) 0, F(x,y) - неубывающая функция по каждому аргументу

2) (Объем тела, ограниченного плоскостью хОу и поверхностью распределения, равен единице.)

27. Условные зр. Числовые характеристик двумерной св.

Под условным ЗР СВ У понимают ее ЗР, полученный при фиксированном значении СВ Х.

Аналогично, условный ЗР СВ Х при фиксированном значении СВ У опред. по формуле:

Сечение поверхности распределения плоскостью, параллельной плоскости хОz проходящей через У=у1, яв-ся условным ЗР СВ Х при У=у1.

Аналитически , где - безусловный ЗР СВ Y.

Аналогично, для СВ Y , где - безусловный ЗР СВ Х.

Если условные ЗР СВ, входящих в систему, совпадают с их безусловными ЗР, то СВ яв-ся независимыми. В противном случае они зависимы. Необходимым и достаточным условием независимости СВ, входящих в систему, яв-ся равенство: .

Функцию распределения двумерной СВ можно определить по формуле:

Числовые характеристики определяются только для СВ, входящих в систему по их ЗР.

Числовые характеристики, определенные по условным ЗР СВ, входящих в систему, наз-ся условными числовыми характеристиками. ,

Зависимость условного матем.ожидания СВ Х М(X/Y) при различных значениях СВ Y наз-ся регрессией х по у. И наоборот, зависимость условных матем.ожиданий СВ У М(Y/X) при различных значениях СВ Х наз-ся регрессией у по х.