8. Ф. Бернулли. Ф. Пуассона. Сфера их применения.

Если некот. соб-е А наступает с одной и той же вер-ю в каж. из n испытаний, причем вер-ть наступления соб-я А в каж. испытании не зависит от исходов др. испытаний, то такие испытания наз-ют независимыми относ-но соб-я А. Такая послед-ть соб-ий получила название схемы Бернулли или схемы независимых испытаний.

Т. Бернулли: Если вер-ть р наступления соб-я А в каж. испытании постоянна, то вер-ть Рm,n того, что соб-е А наступит m раз в n независ. испытаниях =: - ф-ла Бернулли (если общее число испытаний не большое). Док-во: пусть n=3, m=2. В – соб-е А наступит 2 раза в 3х независ. испытаниях; В1 – соб-е А наступит в 1ом испытании, В2 –во 2ом и В3 – в 3ем. -несовместные соб-я. рр(1-р)+р(1-р)р+(1-р)рр= ч.т.д.

Т. Пуассона: Если вер-ть р наступления соб-я А в отдельном испытании постоянна и при неограниченном возрастании числа проводимых испытаний , причем , где , то вер-ть того, что соб-е А наступит m раз в n независ. испытаниях приближенно равна: -ф-ла Пуассона (применяется при ). Док-во: т.к. имеет место схема независ. исп-ий, то вер-ть того, что [ ] переходя к пределу при , получаем по 2му замеч. пределу ч.т.д.

Примеры повторных испытаний: 1) многократное извлечение из урны 1 шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну; 2) повторение одним стрелком выстрелов по 1 и той же мишени при условии, что вер-ть удачного попадания при каж. выстреле принимается одинаковой.3)сфера массового обслуживания с простейшим потоком событий(число заявок на опр. интервале времени).Свойства: стационарность, ординарность, отсутствие последействия.

9. Лок. И интегр. Теоремы Муавра-Лапласа.

Локк. теорема: Если вер-ть р наступления соб-я А в каж. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер-ть Pm,n того, что соб-я А наступит m раз в n независ. испытаниях при достаточно больших n приближенно равна: , где , x=

Условия: ; ; ; ; . Для сущ-ет тбл. значений ф-ии f(x). При x>5 f(x) 0; f(-x)=f(x) – функция четная.

Интегр. теорема: Если вер-ть р наступления соб-я А в каж. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер-ть того, что число m наступления соб-я А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно) при достаточно больших n приближенно =: ; ; , где - функция Лапласа. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной ф-ями y=f(x) и осью абсцисс =1 => S от до 0 и от 0 до =0,5. Поэтому для сокращения исп-ся спец. тбл.: для сущ-ет тбл. зн-ий ф-ии Лапласа. ; Ф(х)=0,5+Ф0(х). При значение Следствия: 1)Если вер-ть р наступления соб-я А в каж. исп-ии постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независ. испытаний вер-ть того, что: а) число m наступ.соб.А отлична от np не более чем на величину Е>0 при-но равна: ; б) частота m/n соб.А в n независ.испытаниях заключается в пределах от α до β включит.при-но равна: , где ; ; в) частота m/n соб.А отличная от вероятности его наступления не более чем на ∆>0 по абсолютной величине приближенно равна: .