Примеры:

Задача 1.

Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб.:

Для изучения интенсивности изменения объёма капитальных вложений вычислите.

1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объёма капитальных вложений. Результаты представьте в таблице.

2. Для общего объёма капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения:

а) средний уровень ряда динамики;

б) среднегодовой темп роста и прироста.

3. Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

.

Решение:

1.

Ряд динамики это ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени. В нашем случае мы имеем дело с интервальным (периодическим) рядом динамики, поскольку его уровни (y) характеризуют размер явления за конкретный период времени (год).

Значения уровней интервального ряда в отличие от уровней моментального ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях, их можно просуммировать, что позволяет получать ряды динамики более укрупнённых периодов. В рассматриваемом нами ряде динамики уровни выражены абсолютными статистическими величинами. Данный ряд с равностоящими уровнями во времени. Для наглядности, данные таблицы мы изобразили графически. График наглядно демонстрирует снижение капитальных вложений от года к году. Для изучения интенсивности изменения объёма капитальных вложений произведём нижеследующие вычисления.

Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчётным, а уровень, с которым производится сравнение – базисным. Для расчёта показателей анализа динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными. Для расчёта показателей анализа на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем анализа динамики является абсолютное изменение – абсолютный прирост (сокращение). Абсолютное изменение характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определённый промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.

Где

Цепные и базисные абсолютные приросты представлены ниже в форме таблицы. Они показывают сокращение капитальных вложений по годам и абсолютное изменение по сравнению с первым годом. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой:

Для характеристики интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой либо период времени исчисляют темпы роста (снижения). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчётного уровня к базисному. Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели интенсивности изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Цепные и базисные коэффициенты снижения, характеризующие интенсивность изменения капитальных вложений по годам, и за весь период исчислены в представленной ниже таблице. Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь:

Относительную оценку скорости изменения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

Темп прироста (сокращения) показывает на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения.

Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах и долях единицы (коэффициенты прироста):

Темп прироста (сокращения) можно получить и из темпа роста, выраженного в процентах, если из него вычесть 100%. Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:

Цепные и базисные темпы сокращения капитальных вложений исчислены в представленной ниже таблице.

Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, рассмотрим его в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. В результате получим абсолютное значение (содержание) одного процента прироста и рассчитаем как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени, %:

Абсолютные значения 1% прироста исчислены в представленной ниже таблице. Данные показывают, что абсолютное значение 1% прироста капиталовложений в течении пяти лет снижалось.

В тех случаях, когда сравнение производится с отдалением периода времени, принятого за базу сравнения, рассчитывают пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста, %, двух смежных периодов. В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножить, пункты роста можно суммировать, в результате получаем темп прироста соответствующего периода по сравнению с базисным.

По данным представленной ниже таблицы, сумма пунктов роста равна –54.5, что соответствует темпу прироста уровня пятого года по сравнению с первым годом. Иными словами, пятый год по сравнению с первым имеет снижение капитальных вложений на 54.5%.

2.

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определим средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Средний уровень капиталовложений за пять лет находим по формуле средней арифметической простой, млрд. руб.:

капиталовложений производственного назначения, млрд. руб.:

капиталовложений непроизводственного назначения, млрд. руб.:

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста (снижения), показывающий во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики. Поскольку нам известны уровни динамического ряда, то расчёт среднего коэффициента роста произведём по более простому способу – «базисному»:

, где m – число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

Среднегодовой темп роста капиталовложений:

Производственного назначения:

Непроизводственного назначения:

Поскольку средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах, подсчитаем:

Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100%. Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100% (82%, 81%, 85%), а средний темп прироста отрицательной величиной (-18%, -19%, -15%). Отрицательный темп прироста представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

Следовательно, в течение пяти лет уровень капиталовложений снижался в среднем на 18% в год, в том числе производственного назначения на 19%, непроизводственного назначения на 15%.

3.

Обобщающий показатель скорости изменения уровней во времени – средний абсолютный прирост (убыль), представляющий собой обобщённую характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Средний абсолютный прирост определим через накопленный (базисный) абсолютный прирост:

,где m – число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

Средний абсолютный прирост капиталовложений, млрд. руб.:

Средний абсолютный прирост капиталовложений производственного назначения, млрд. руб.:

Средний абсолютный прирост капиталовложений непроизводственного назначения, млрд. руб.:

Таким образом, средний абсолютный прирост (убыль) составляет –18.6625 млрд. руб., другими словами среднегодовая абсолютная убыль капиталовложений составляет 18.66 млрд. руб., в том числе: производственного назначения 13.99 млрд. руб., непроизводственного назначения 4.68 млрд. руб.

Следовательно, в течение 6-го года объём капиталовложений составит 62.3-18.66=43.64 (млрд. руб.), в том числе:

Производственного назначения 41.4-13.99=27.41 млрд. руб.;

Непроизводственного назначения 20.9-4.68=16.22 млрд. руб.

Теперь осуществим прогноз с помощью среднего темпа роста. Средний темп роста капиталовложений составил 82%, следовательно, мы получаем снижение капиталовложений на 18% в год, 18% от 62.3 млрд. руб. (5-ый год) составляет 11.214 млрд. руб., 62.3-11.214=51.086 млрд. руб.

Следовательно, капиталовложения ближайшего года (6-го) составят 51.09 млрд. руб.

Аналогично рассчитаем капиталовложения производственного назначения, которые составят 33.53 млрд. руб.; непроизводственного назначения 17.77 млрд. руб.

Задача 2.

Табл.1. Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов

Номер завода	Стоимость основных фондов, млн руб. x	Выпуск продук- ции, млн руб. y	x*y	x2	ŷx
1	6	2,4	14,4	36	2,692
2	8	4,0	32,0	64	3,537
3	9	3,6	32,4	81	3,958
4	10	4,0	40,0	100	4,380
5	10	4,5	45,0	100	4,380
6	11	4,6	50,6	121	4,802
7	12	5,6	67,2	144	5,224
8	13	6,5	84,5	169	5,646
9	14	7,0	98,0	196	6,068
10	15	5,0	75,0	225	6,490
Итого	108	47,2	539,1	1236

Анализ данных табл.1 показывает, что с увеличением стоимости основных фондов растёт, как правило, и выпуск продукции.

Для определения формы связи построим корреляционное поле. Отложим на оси абсцисс значения факторного признака (x), а на оси ординат – значение результативного признака(y)(рис.1).Если соединить последовательно отрезками прямых нанесенные на график точки, получим так называемую эмпирическую линию связи. По её виду можно предположить наличие линейной корреляционной связи между признаками.

Допустим, что между стоимостью основных фондов и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямой y_{x =}a_{0 +} a_1* x. Для определения параметров и используем метод наименьших квадратов, который даёт следующую систему нормальных уравнений:

a₀n+a₁∑x=∑y

a₀∑x+a₁∑x² =∑yx.

Где n– численность совокупности (в нашем примереn= 10).

Расчёты проведём в табл. 1: ∑x=108; ∑y=47,2; ∑x² =1236; ∑x*y=539,1.

Рис.1. Зависимость выпуска продукции от стоимости основных фондов

Следовательно, нормальное уравнение для нахождения параметров прямой имеет вид:

10a₀ + 108a₁ = 47,2

108a_{0 +} 1236a₁= 539,1.

Решим систему нормальных уравнений, для чего каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при a₀ и из второго уравнения вычтем первое:

4,72 = a₀ + 10,8a₁

4,99 = a₀ + 11,44a₁, 0,27 = 0,64a₁.

Определим параметр a₁ : a₁₌ 0,27/0,64=0,422.

Подставив значение a₁ в первое уравнение, получим:

4,72 = a₀ + 10,8*0,422, откуда a₀ = 0,16. y_x = 0,16 + 0,422x.

Параметр уравнения a₁показывает, что с увеличением стоимости фондов на 21 млн руб. выпуск продукции растёт в среднем на 0,422 млн руб. Параметрa₀- свободный член уравнения. Приx= 0,y_x= 0,16.

Линейной уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид: y_x= 0,16 + 0,422x, подставим в это уравнений значениеx, получим

при x= 6:y₆ = 0,16 + 0,422*6 = 2,692,

при x= 8:y₈ = 0,16 + 0,422*8 = 3,537 и т.д.

Значения y_x приведены в табл. 1.

Количественную зависимость изменения теоретического значения ŷ от изменения x(y_x),которое выражает коэффициент регрессии (a₁), часто бывает удобнее выразить в относительных величинах. Для этого исчисляется коэффициент эластичности (Э):

Э = a₁*x/y_x, Э = 0,422* 6/ 2,692 = 0,94.

Это означает, что на 1% прироста стоимости основных фондов выпуск продукции увеличивается на 0,94%.

Задача 2.

Пусть имеются данные:

Группы семей со среднедушевым совокупным доходом в месяц, ден. ед.	Расходы на питание, ден. ед.
	Фактические (эмпирические)	расчётные
50,1 – 75,0	1529	1528,31
75,1 – 100,0	1651	1657,10
100,1 – 125,0	1762	1760,36
125,1 – 150,0	1856	1847,46
150,1 – 175,0	1929	1923,20
175,1 – 200,0	1980	1990,58

Расходы на питание выберем в качестве результативного признака (y), уровень среднедушевого совокупного дохода - в качестве независимой переменнойx(К = 1),влияющей на уровеньy. Число наблюденийn= 6. Для сгруппированных бюджетных данных определено следующее уравнение, отражающее имеющуюся взаимосвязь:

y=a₀*x^a ,

ŷ_x =564,465*x^0,240777, или

lg ŷ_x=lg564,465 + 0,240777*lg*x.

Рассчитанный F-критерий (F_набл) составил 455,896.

Воспользуемся таблицами для определения F-критического.

Пусть α =0,01; V₁=K=1; V₂= n-(K+1) =6-1-1=4.

Тогда F_крит~21,20.

F_набл(455,896)>F_крит(21,20), следовательно, гипотеза о равенстве 0 коэффициентов приxотвергается и с вероятностью 99% можно заключить, что уравнение регрессии значимо, то есть хорошо представляет все имеющиеся причинно-следственные связи.

При изучении корреляционной связи можно выяснить не только форму, но и тесноту связи между факторным и результативным признаками.

Чтобы измерить тесноту прямолинейной связи, рассчитывают коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1, чем ближе к 1, тем выше зависимость.

При r_xy>0 – связь прямая,r_xy<0 – связь обратная,r_xy=0 – связь отсутствует.

В зависимости от того, насколько r_xyприближается к ±1, различают связь слабую, умеренную, заметную, высокую, тесную и весьма тесную.

Вычислим коэффициент корреляции по данным табл.1.

Таким образом, связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

Коэффициент корреляции может быть исчислен и по формуле:

Где ; σ_y- среднее квадратическое отклонение результативного признака; σ_x – среднее квадратическое отклонение факторного признака.

Табл.3.

Номер завода	x	y	(x-x)	(y-y)	(x-x)(y-y)	(x-x)2	(y-y)2	xy
1	6	2,4	-4,08	-2,32	+11,136	23,04	5,38	14,4
2	8	4,0	-2,8	-0,72	+2,016	7,84	0,52	32,0
3	9	3,6	-1,8	-1,12	+2,016	3,24	1,25	32,4
4	10	4,0	-0,8	-0,72	+0,576	0,64	0,52	40,0
5	10	4,5	-0,8	-0,22	+0,176	0,64	0,05	45,0
6	11	4,6	+0,2	-0,12	-0,024	0,04	0,01	50,6
7	12	5,6	+1,2	+0,88	+1,056	1,44	0,77	67,5
8	13	6,5	+2,2	+1,78	+3,916	4,84	3,17	84,5
9	14	7,0	+3,2	+2,28	+7,296	10,24	5,20	98,0
10	15	5,0	+4,2	+0,28	+1,176	17,64	0,08	75,0
∑	108	47,2			+29,340	69,60	16,96	539,1

По данным талб. 3. получаем:

Подставим необходимые данные в формулу:

В случае нелинейной зависимости между признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение, которое исчисляется по формуле:

Где y– фактические значения;y– среднее значение;y_x– теоретические (выравненные) значения переменной величины.

Корреляционное отношение по своему абсолютному значению колеблется в пределах от 0 до 1.

Задача 3.

Имеются данные о душевом доходе и потреблении мяса семей различного состава.

табл.4

Средний доход на члена семьи за месяц, руб. x1	Число членов семьи,x2	Душевое потребление мяса за месяц, кг y	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	yx1x2
70	4	3,0	210,0	12,0	280	4900	16	3,0
85	4	3,3	280,5	13,2	340	7225	16	3,5
90	3	4,2	378,0	12,6	270	8100	9	4,0
100	3	5,0	500,0	15,0	300	10000	9	4,6
125	2	4,5	562,5	9,0	250	15625	4	5,5
150	2	6,8	1020,0	13,6	300	22500	4	6,4
130	1	6,2	806,0	6,2	130	16900	1	5,9
160	1	7,0	1120,0	7,0	160	25600	1	7,0
Итого: 910	20	40,0	4877,0	88,6	2030	110850	60	40,0
Среднее значение: 113,75	2,5	5,0	609,63	11,075	253,75

Допустим, что связь в данном случае между y,x₁ иx₂прямолинейная. Подставим данные табл.4 в систему нормальных уравнений:

Для решения системы нормальных уравнений разделим все члены уравнений на коэффициент при a_0:

Вычтем теперь из первого уравнения второе и третье и получим:

-0,36=-8,06a₁+ 0,27a₂

0,57=12,25a₁ – 0,5a₂.

Разделим все члены уравнений на коэффициенты при a₂и вычтем из первого уравнения второе:

Подставим значение параметра a₁в уравнение, получим:

-1,140=-24,5*0,0361 + a₂,

откуда

a₂=-1,140+0,8844=0,2556.

Аналогично определяем значение параметра a_0,которое будет равноa₀=1,5327.

Уравнение множественной регрессии, характеризующее зависимость потребления мяса от душевого дохода и числа членов семьи, будет иметь вид:

y_x1x2=1,5327 + 0,0361x₁ – 0,2556x₂.

Параметр a₁показывает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1 руб. расходы на потребление мяса увеличиваются в среднем на душу на 0,0361 руб., а параметрa₂показывает, что с увеличением размера семьи на одного человека потребление мяса уменьшается в среднем на 0,2556 кг.

Подставим в уравнение множественной регрессии эмпирические значения x₁ иx_2, получим теоретические значенияy_x1x2.

При определении тесноты связи для множественной зависимости пользуются коэффициентом множественной (совокупной) корреляции, предварительно исчислив коэффициенты парной корреляции. Для нашего примера коэффициент множественной корреляции имеет вид:

Где r_x1y, r_x2y, r_x1x2– парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент множественной корреляции колеблется в пределах от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем в большей мере учтены факторы, определяющие конечный результат.

Табл.5

(y-y)	(y-y)2	(x1-x1)	(x1-x1)2	(x2-x2)	(x2-x2)2
-2,0	4,00	-43,75	1914,06	+1,5	2,25
-1,7	2,89	-28,75	826,56	+1,5	2,25
-0,8	0,64	-23,75	564,06	+0,5	0,25
0	0,00	-13,75	189,06	+0,5	0,25
0,5	0,25	11,25	126,56	-0,5	0,25
1,8	3,24	36,25	1314,06	-0,5	0,25
1,2	1,44	16,25	264,06	-1,5	2,25
2,0	4,00	6,25	2139,06	-1,5	2,25
	16,46	7337,5			10

Для определения парных коэффициентов корреляции вычисляем:

Парные коэффициенты корреляции определяются по следующим формулам:

Исчислим коэффициент множественной корреляции:

Сравнивая парные коэффициенты корреляции с коэффициентом множественной корреляции, видим, что связь между результативным признаком (y) и двумя факторами (x₁иx₂) является более полной, чем с каждым фактором в отдельности.

Поскольку факторные признаки действуют не изолировано, а во взаимосвязи, то может возникнуть задача определения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов. Она решается при помощи частных коэффициент корреляции. Например, при линейной связи частный коэффициент корреляции между x₁ иyпри постоянномx₂исчисляется по следующей формуле:

Частный коэффициент корреляции при изучении зависимости yотx₂ при постоянномx₁определяется по формуле:

В нашем примере частный коэффициент корреляции между yиx₁при неизменном значенииx₂ равен:

Если сравнить исчисленные коэффициентами парной корреляции, то окажется, что последние значительно больше первых, то есть они преувеличивают меру связи между результативным и факторным признаком. Это объясняется тем, что факторы взаимно коррелируют между собой. Коэффициент же частной корреляции определяет действие каждого фактора при неизмененном значении остальных факторов. Поэтому они более точно определяют тесноту связи.

В отдельных случаях при ориентировочной оценке тесноты связи пользуются приближенными показателями, не требующими сложных, трудоемких расчетов. К ним относятся: коэффициент корреляции знаков Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации и коэффициент сопряженности.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера основан на сопоставлении знаков отклонений от средней и подсчете числа случаев совпадения знаков:

и лежит в пределах

где u– число пар с одинаковыми знаками отклоненийxиyотxиy;v– число пар с разными знаками отклоненийxиyотxиy. Чем ближе коэффициент к 1, тем теснее связь.

Вычислим iпо данным табл.1.

Это значит, что связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена исчисляется не по первичным данным, а по рангам (порядковым номерам), которые присваиваются всем значениям изучаемых признаков, расположенным в порядке их возрастания. Если значения признака совпалают, то определяется средний ранг путём деления суммы рангов на число значений. Коэффициент корреляции рангов определяется по формуле:

и лежит в пределах

где d²– квадрат разности рангову для каждой единицы;n– число наблюдений (число пар рангов).

Вычислим pпо данным табл.1

Номер завода	Стоимость основных фондов, млн руб. x	Выпуск продукции, млн руб. y	Ранги		Разность рангов d	d2
			по x	по y
1	6	2,4	1	1	0	0
2	8	4,0	2	3,5	-1,5	2,25
3	9	3,6	3	2	+1	1
4	10	4,0	4,5	3,5	+1	1
5	10	4,5	4,5	5	-0,5	0,25
6	11	4,6	6	6	0	0
7	12	5,6	7	8	-1	1
8	13	6,5	8	9	-1	1
9	14	7,0	9	10	-1	1
10	15	5,0	10	7	+3	9
						16,5

Полученный ранговый коэффициент корреляции свидетельствует о наличии прямой тесной связи между величиной основных фондов и выпуском продукции.

Коэффициенты ассоциации и контингенции применяются для установления меры связи между двумя качественными альтернативными признаками. Для их вычисления строится комбинационная четырехклеточная таблица. Например, зависимость наличия отдельной квартиры от семейного положения.

Семейное положение	Имеют отдельную квартиру	Не имеют отдельной квартиры	Всего
Семейные Одинокие	a c	b d	a + b c + d
Всего	a + c	b + d	a + b + c + d

Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле:

и лежит в пределах

В качестве метода для установления ассоциативной связи может быть использован также коэффициент ассоциации Юла: