Вопрос 12.

Понятия случайной величины. Дискретные и непрерывные и случайные величины.

Cлучайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Случайные величины делятся на дискретные, непрерывные и смешанные.

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности:

X			…
p			…

 

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.

Так как случайная величина в результате испытания примет одно и только одно значение, то события: Х= , Х= , …, Х= образуют полную группу. Следовательно, из следствия 1 теоремы сложения вероятностей сумма вероятностей этих событий равна единице:

+ +…+ = =1.

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически.Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (рис.6.1).

Рис. 6.1

 

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Вопрос 13.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x

F (x) = P (X < x).

Функция F (x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x.

Свойства:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0 < F (x) < 1. (8.2)

Утверждение следует из того, что функция распределения - это веро-ятность.

2. Функция распределения случайной величины - неубывающая функ-

ция на всей числовой оси.

Пусть x₁ и x₂ - точки числовой оси, причем x₂ > x₁. Покажем, что F (x₂) > F (x₁). Рассмотрим два несовместных события A = (X < x₁),

B = (x₁ < X < x₂). Тогда A + B = (X < x₂).

A + B = (X < x₂)

A = (X < x₁) ^x1 B = (x₁ < X < x₂) ^{x2 x}

Рис. 11. Функции распределения - неубывающая функция.

Это соотношение между событиями представлено на рис. 11. По теореме сложения

P (A + B) = P (A) + P (B)

	или
	P (X < x2) = P (X < x1) + P (x1 < X < x2),
	откуда
	F (x2) = F (x1) + P (x1 < X < x2).	(8.3)

Так как вероятность P (x₁ < X < x₂) > 0, то F (x₂) > F (x₁), т.е. F (x)

- неубывающая функция.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

F (−∞) = lim F (x) = 0, F (∞) =	lim F (x) = 1.	(8.4)
x→−∞	x→+∞

F (−∞) = P (X < −∞) = 0 как вероятность невозможного события

X < −∞.

F (+∞) = P (X < +∞) = 1 как вероятность достоверного события

X < +∞.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x₁, x₂) (вклю-чая x₁ равна приращению ее функции распределения на этом интер-вале, т.е.

P (x1 < X < x2) = F (x2) − F (x1).

(8.5)

График функции для дискретной с.в. Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным случайным значениям величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции  равна единице.

График функции для непрерывной с.в.

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках.