Вопрос 28.

Корреляционный момент (Кху), коэффициент корреляции двух случайных величин.

Корреляционным моментом Кху случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин X и Y от их математических ожиданий:

Кху =М((Х - М(Х))*(Y - М(Y))) или Кху = М(X* Y) – M(X)*M(Y).

Корреляционный момент является характеристикой связи между случайными величинами X и Y. Если они независимые, то Кху =0. Если Кху =0, то Х и Y – некоррелированные случайные величины. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности не следует их независимость.

Коэффицент корреляции случайных величин Х и Y определяется как отношение

rxy = (Кху)/(Ϭ(X)*Ϭ(Y)) и является безразмерной величиной |rxy| ≤ 1. Если |rxy| = 1, то случайные величины X и Y – линейно зависимые.

Вопрос 29.

Генеральная совокупность и выборка. Объём выборки. Вариационный ряд. Таблица частот. Полигон. Гистограмма. Привести пример.

Генеральная совокупность, генеральная выборка — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых делаем выводы при изучении конкретной проблемы.

Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность.

Вариационный ряд — упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины

равные между собой элементы выборки нумеруются в произвольном порядке; элементы вариационного ряда называются порядковыми (ранговыми) статистиками; число 

λ_m = m/n называется рангом порядковой статистики 

Таблица частот:

Если хi (i = 1,2,3…,k) различные варианты выборки, и х1 наблюдалось n1 раз, х2 - n2 раз, … , хк – nк раз,

то числа ni называют частотами ( = n), а их отношение к объёму выборки ni /n = Wi – относительными частотами ( =1).

Полигон и гистограмма:

По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), ..., (x_k; n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки ( x_i; n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁; W₁), (x₂; W₂), ..., (x_k; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты W_i. Точки ( x_i; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению n_i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i / h.

Площадь i - го частичного прямоугольника равна hn_i / h = n_i - сумме частот вариант i - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению W_i / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i / h

Площадь i - го частичного прямоугольника равна hW_i / h = W_i - относительной частоте вариант попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Полигон частот Гистограмма относительных частот